G. KŒNIGS. - SUR DEUX APPAREILS NOUVEAUX DE MÉCANIQUE 



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disons mouvement, nous n'entendons pas seule- 

 ment les éléments fçéomélriques, les trajectoires, 

 mais encore la loi même du mouvement, celle qui 

 relie les éléments géométriques au temps. 



l'ar exemple, on pourrait chercher à construire 

 un appareil cinématique qui, mil par un rouage 

 (Thorlogerie d'allure uniforme, forcerait un pointa 

 décrire une ellipse suivant les lois de Kepler. Un 

 aui-ait ainsi une réalisation cinématique du mou- 

 vement des planètes. 



l'eut-étre les problèmes de ce genre oil'riraient- 

 ils quelque intérêt, car leur solution fournirait en 

 quelque sorte un diagramme vivant de l'allure 

 normale des machines. 



Poinsot, on le sait, est le premier qui se suit 

 posé des questions de cet ordre, à propos du mou- 

 vement d'un corps solide tournant librement autour 

 d'un point fixe Jfig. .3). Considérant l'ellipsoïde 

 central E relatif à ce point. Poinsot remarqua que 

 dans tout le cours du mouvement, l'ellipsoïde E 

 roule sur un plan fixe P, et que si M désigne le 

 point de contact du plan et de l'ellipsoïde <i un 

 instant donné, d'abord OM est l'axe instantané de 

 i-otation, et ensuite la vitesse angulaire instantanée 

 autoui' de UM est précisément proportionnelle à la 

 longueur de OM. Le lieu de M sur l'ellipsoïde est 

 une courbe gauche fermée, appelée par Poinsot 

 polhodie;\e lieu de M dans le plan est une courbe 

 compli(iuée, dont les spires tournent autour du 

 point 0', projection du point sur le plan P, et 

 qui ne se ferment généralement pas. Cette courbe 

 a été appelée par Poinsot herpolliodie. 



Le roulement d'un ellipsoïde sur un plan est 

 aisé à réaliser ; ce qui l'est moins, c'est de s'ar- 

 ranger de telle sorte qu'à chaque instant la vitesse 

 angulaire autour de OM soit proportionnelle à OM. 

 Voici comment cette condition a pu être réalisée: 



Menons par le point O un plan Q parallèle au 

 plan fixe P, et projetons le point de contact M en 

 iV s'ur ce plan Q. Menons ON. Dans le cours du 

 mouvement, ON change soit dans le corps, soit 

 dans l'espace. Dans le corps il décrit un cône C du 

 second ordre (non de révolution), et, dans l'espace 

 il décrit le plan Q. Or la rotation instantanée au- 

 tour de OM peut se décomposer en une rotation 

 autour de 00'(perpendiculaire aux plans parallèles 



P et Q) et en une rotation autour de ON. Ces rota- 

 tions sont proportionnelles respectivement à 00 

 et à ON. La première est donc constante ; dési- 

 gnons-la par a. 



La rotation instantanée se compose ainsi d'une 

 rotation constante a autour de 00', et d'une ro- 

 tation autour de ON, proportionnelle à ON. Sup- 

 posons alors que le plan Q soit animé d'une, rota- 

 tion uniforme a autour de 00', et que le cône C 

 roule sur ce plan avec une vitesse angulaire pro- 

 portionnelle à ON ; le mouvement ainsi défini sera 

 le même que celui dont le corps est supposé animé, 

 en sorte que pendant le mouvement, pendant le 

 roulement de l'ellipsoïde central sur le plan P, le 

 cône C, entraîné par le corps, roulera sur le plan Q, 

 tandis que celui-ci sera animé d'un mouvement 

 uniforme de rotation sur lui-même. Si parle moyen 

 d'un engrenage le cône C elle plan Q sontassujettis 

 à rouler l'un sur l'autre, le plan Q tournera uni- 

 formément sur lui-même, et fournira une repi-ésen- 

 tation du temps à la façon d'une véritable horloge. 

 Mais alors disposons ainsi les choses : d'abord 

 construisons un ellipsoïde E (ou une polhodie), que 

 nous assujettirons à rouler sur un plan P (fig. i\ 

 tandis que le centre de l'ellipsoïde restera fixe ; 

 ensuite figurons le cône C comme le primitif d'un 

 engrenage sphéro-conique qui viendra engrener 

 avec une roue plane dont le profil sera un cercle D 

 du plan Q, ayant pour centre; supposons le 

 cône C invariablement lié à l'ellipsoïde (ou à la 

 [)olhodie de contact, qu'il est seul utile de repré- 

 senter) ; enfin, par un mouvement d'horlogerie im- 

 primons au cercle D un mouvement uniforme de 

 rotation. Que va-t-il arriver? Le cercle D, en tour- 

 nant, engrènera avec le profil du cône C, celui-ci 

 entraînera la polhodie qui roulera sur le plan P, 

 et possédera à chaque instaat la vitesse angulaire 

 proportionnelle à OM, comme le veut la loi de 

 Poinsot. 



C'est cet appareil qui a été construit. La remar- 

 que relative à la rotation uniforme du plan Q est 

 due à Poinsot, qui proposa de représenter le 

 mouvement en faisant rouler le cône G sur le plan Q 

 animé d'une rotation uniforme. M. Sylvester a 

 ensuite montré que les deux représentations de 

 Poinsot sont des cas particuliers d'une infinité 

 d'autres, dans lesquelles un ellipsoïde homothé- 

 tique à un ellipsoïde homofocal à l'ellipsoïde 

 central roule sur un plan parallèle au plan P 

 et animé d'une rotation uniforme. Mais à M. Dar- 

 boux revient le mérite d'avoir remarqué qu'il suffit 

 d'employer simuUanément les deux représentations 

 de Poinsot pour obtenir une réalisation cinémati- 

 que complète de toutes les circonstances mécaniques 

 du mouvement d'un corps solide. 



Je n'insisterai pas sur les détails de construction. 



