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BIBLIOGRAPHIE. 



ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



I»îcni-tl (E.), lie l'Ai-inlrinir rft'.s Sriciiccfi. — Mémoire 

 sur la théorie des équations aux dérivées par- 

 tielles et la méthode des approximations succes- 

 sives (Jouinal (Je ijiiilhr»vi!ii_/iic}i, ISii()\. — Sur la 

 détermination des intégrales de certaines équa- 

 tions aux dérivées partielles du second ordre par 

 leur valeur le long d'un contour fermé. (Joiininl 

 de PErolc l'o/ylcclniiqiir, 1890.) 



Ces travaux sont les premiers où soit abordée sous 

 une forme générale la théorie des équations aux déri- 

 vées partielles du second ordre. On ne s'était guère 

 occupé que de certains types particuliers d'équations 

 dont les plus importants sont les suivants : 



(0 



(2) 



V^u "il- Il 



■5- M 



■52» 

 11''- 



t)-» 

 ■^■'•■D;/ 



Les travaux considérables dont ces équations (1) et 

 (2) ont été l'objet ont mis en évidence les différences 

 essentielles qui les distinguent : toutes les intégrales 

 de l'équation (i ) »oni (nifihjtiques, et se laissent détinir 

 par leurs valeurs le long d'un contour fermé à l'intérieur 

 duquel elles sont régulières ; à chaque intégrale de (1) 

 correspond une intégrale analytique de (2) ; mais l'équa- 

 tion (2) admet en outre une infinité d'intégrales non ana- 

 lytiques ; une intégrale de (2) n'est pas définie par ses 

 valeurs le long d'un contour fermé, mais par les valeurs 



de ses dérivées — ' — le long d'un arc de courbe et 



(Iv, dy 

 sa valeur en un point de cet arc. 



Il était vraisemblable qu'une telle distinction dût se 

 poursuivre entre les équations du second ordre plus 

 compliquées ; mais en deho'rs du théorème de Cauchy 

 sur l'existence d'intégrales analytiques, on ne connais- 

 sait aucune propriété générale de ces équations. Les 

 travaux de M. Picard embrassent toutes les équations 

 de la forme : 



(:i) 





A(-,2/)^+2B(.,,)|^ 



■52 u 



/ ^u -au 



Cette équation peut se ramener, suivant que IV- 

 est négatit ou positif, à l'un des types : 



(A) 



■5'- M ■52(( 



= F, 



(R) 



"i-'-liy 



Par une méthode, à la fois très rigoureuse et très 

 simple d'approximations successives, l'auteur étend aux 

 équations (.V) et (H) ces deux propriétés fondamentales 

 des équations (t) et (2) : 



1 » D/iiifi lu partie du •plan oit B- — ^1 C eut négatif, il existe 

 une iiiti'uralc, contimie ainai qucitef. di'rivfeadei deux pre- 

 miers iirilresii Piiilerieur d'un viiiitinir fermé quelconque, et 

 C{ui prend snr ee roulmii- des 1 idnrrs di)nni!es {pourvu toute- 

 fois que ee eindinir seiil snffi^iimnient petit). 



2° Dans la partie du plan ou B^ — AC ('.s( positif , il existe 

 nue intéqrale qui prend en un point a d'un arc de courbe c 



"5)4 "^u 

 une ealeirr donnée et dont les dérivées -- , — prennent le 



"Sa' -iy 

 long de c des valeurs données (pourvu toutefois que Parc c 



soit suffisiinnnenl petit): H et Ses dérivées des deuxpremiers 

 ordres restent d'aillettrs eontimies quand on traverse 

 l'are c. Ceci n'est pas vrai pour les équations {X). 



(x's llicdièiiies ne supposent rien sur A, B, C, F. 

 I.'aulcur Ifs complète moyennant certaines hypothèses 

 sur ces coefficients. L'étude des équations linéaires 

 notamment conduit à des conclusions de la plus haute 

 importance et qui se résument ainsi : Soit l'équa- 

 tion : 



"i-u "J-îï "J'» -j» 



f i^ -^ ^T, -I- 2B — — - + G -, + 2U — 



-r 2E— 4- F« = 0; 



on peut toujours supposer nul le terme indépendant 

 do u. Envisageons seulement la région du plan où 

 B^ — AG est négatif : il existe, d'après le premier théo- 

 rème, une intégrale de l'équation (4) qui prend des 

 valeurs données le long d'un contour fermé quelcon- 

 que, pourvu que ce contour soit suffisamment petit. 

 On montre ici que cette intégrale est unique. De plus, 

 toute intégrale de l'équation (4) est analytique, si les 

 coefficients A, B,.. .F sont eux-mêmes des fonctions ana- 

 lytiques de X, y. Enfin si le coefficient de u est identi- 

 quement luil, ou simplement si le signe de ce coeffi- 

 cient est contraire au signe commun de A et de C, il 

 existe une intégrale et une seule qui prend des valeurs 

 données le long d'un contour fermé quelconque, et les 

 méthodes de M. Picard permettent de calculer celte 

 intégrale. On voit que l'équation (4) dans ce dernier 

 cas jouit absolument des mômes propriétés fondamen- 

 tales que l'équation de Laplace. 



11 est inutile d'insister sur la portée de ce théorème 

 que toutes les intégrales de l'équation (4) sont analytiques. 

 Comme l'auteur l'indique dans une note récente, ce 

 principe conduit naturellement à une large extension 

 de la théorie des fonctions de variable imaginaires. 

 Ajouton's que les équations de la forme (3) et (4) se 

 rencontrent dans une foule de questions d'acoustique, 

 d'électricité, etc. Par l'importance et la généralité des 

 résultats, comme par l'élégance et la netteté des mé- 

 thodes, les mémoires que nous venons d'analyser s'im- 

 posent donc à l'étude non seulement des analystes, 

 mais de tous ceux qui s'intéressent à la physique ma- 

 thématique. 



P. Paini.evé. 



Bulletin du Comité international permanent pour 



l'exécution photographique de la Carte du Ciel. 



Sixième fascicule, grand in-i" Gauthier Villars et fils, 



■i'.'Kquai des Grands- Aiigustins, 1891. 



Le sixième fascicule du Bulletin rédigé par le Comité 

 international permanent pour l'exécution photogra- 

 phique de la Carte du Ciel, vient de paraître; il ne 

 contient pas moins de huit mémoires, bien qu'il n'ait 

 que 90 pages. Ces mémoires, que nous ne pouvons son- 

 ger à analyser ici, sont fort intéressants; nous donnons 

 ci-dessous leurs titres : 



Plan et détails de l'appareil parallactique de mesures 

 par M. Kapteyn. — Description d'un appareil parallac- 

 tique de mesures, par M. P. Gautier. — Sur une mé- 

 thode tiès simple permettant d'orienter un instrument 

 à monture parallactique plus exactement qu'on ne 

 peut le faire en général par des lectures des cercles, 

 par M. J. Scheiner, astronome à l'observatoire de 

 Potsdam (traduction par Mlle D. Klumpke). — Sur la 

 loi dos diamètres photographiques des disques stel- 

 laires, par M. Max Wolf (traduction par Mlle D. Kluni- 



