BIBLIOGRAPHIE. 



ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Oltrsimni-e {('..), Uoi/cn de ta Furuilr des Scicnreif de 



C'ncvc. — Calcul de généralisation. — Mém. Ins- 



litid national génevoii, t. XYI. 



Dans le court exposé que je vais faire de ce nouveau 

 mode de calcul, je n'ai pas la prétention d'exposer la 

 suite des idées qui ont conduit l'auteur à sa découverte : 

 ' je cliercherai seulement à faire comprendre ce calcul 

 dans son esprit et à en indiquer brièvement les princi- 

 pales applications. 



La manière la plus simple de saisir l'idée fondamen- 

 tale du calcul de {généralisation est peut-être de le re- 

 garder comme une extension du calcul des dérivées ù 

 indices quelconques, créé par l'illustre Liouville. De 

 même que ce géomètre, M. Oltramare regarde toute 

 l'onction comme développable en une série d'exponen- 

 tielles; « désignant une variable indépendante, il pose : 



(1) 





+A cT«+ 



les lettres a, pp. y, Aœ, Ap, Ay.... désignant des cons- 

 tantes quelconques réelles ou imaginaires, en nombre 

 limité ou illimité. Cela fait, on exprime la série du 

 second membre à l'aide d'une notation abrégée en l'cri- 

 vant : 



(2) 



9 (C) ■ 



Cette notation, qui peut paraître étrange au premier 

 abord, n'a d'autre sens que celui exprimé par la for- 

 mule (i) et l'on pourrait tout aussi bien poser suiva n 

 l'usage courant en mathématiques ç (fl) = S Au e"" , u 

 devant recevoir successivement les valeurs a, p, f... ; 

 on dit que ç («) dérive de «""par généralisation. Cela 

 posé, Liouville nommait dérivée à indice v- et représen- 



tait par la notation ? la quantité : 



daV- 



Ae-".^ + X, 



■4-A .'f«/ + 



M. Oltramare a eu l'idée de constituer un calcul plus 

 général dans lequel on considère des expresssions de 

 la forme 



A^ e'^'^ya'' -t- ApeP"^(p) -f- A,^ J" 4'(t) + ■ • •- 



la fonction!}/ étant quelconque et pouvant contenir la 

 variable a. 



Conformément à la notation précédemment adoptée, 

 on désignera cette expression par le symbole 



(3) 



G 



4'(") 



de telle sorle que G c"" représentant "o («), Ce"" 'I' (") 

 sera le résultat d'une certaine opération elTectuée sur 

 cette même fonction ? (a) ; il ne faut pas perdre de vue 

 que 'i/ (m) pouvant contenir a, l'expression e"" if (m) est 

 susceptible de représenter une fonction quelconque de 

 a et », de sorte que la formule (2] est entièrement 

 équivalente à : 

 (4) G F (») 



cette dernière représente par conséquent, elle aussi, 

 une certaine opération exécutée sur ip {a); c'est cette 

 opération que le nouveau calcul a pour objet de pré- 

 ciser. On peut d'ailleurs constater facilement que les 

 différentes opérations usitées dans l'analyse ne sont que 

 des cas spéciaux de la généralisation, tant du moins 



qu'elles sont caraclérisées par des symboles linéaires 

 ou distributifs. 



Faisons comprendre ceci par un exemple fort simple 

 et choisissons une opération 69 [a) définie comme suit : 



5? ''<•') = ?■'«)— î'«) 



On peut immédiatement vérifier que 



(•5) Ss(rt) = G/"' 1» — 1) 



(61 et même 



<? '") = I'.'' (" — l) 



Ces deux opérations 5y et S" ? ne sont que des cas spé- 

 ciaux de la généralisation; de plus en développant le 

 second [membre de (6) selon la formule du binême. on 

 trouve immédiatement : 



!n) 



irti + 



" (" — t ! <'h— 1) ,^ 

 t. 2 "■' 



{")- 



Cet exemple, si élémentaire qu'il soit, peut déjà faire 

 comprendre le parti à tirer du calcul de généralisation, 

 quand les opérations qu'on a en vue ne sont que des 

 opérations linéaires; s'il s'agit au contraire d'opéra- 

 tions non linéaires, ce calcul ne s'applique plus. Il 

 peut donc être considéré comme une synthèse ou 

 théorie générale des opérations linéaires. Rien n'oblige 

 d'ailleurs de le restreindre aux fonctions d'une seule 

 variable : on peut poser, en effet, une équation caracté- 

 ristique telle que : 



(f'/i, i, c, . . .) = G p ' 



et déduire de là la signification du symbole GF {u,v,n'...) 

 Dans le mémoire de l'auteur, on trouve un grand 

 nombre de déterminations de valeurs de GF (h) de 

 formes très différentes ; en outre, un procédé permet- 

 tant de déduire de G •!/ (k) el G y. (u) supposées connues la 

 valeur de G i' (u) y, {u) ; enfin une formule générale, conte- 

 nant deux intégrales doubles, qui fournit la valeur de 

 GF (h) quelle que soit la fonction F (u). La généralisa- 

 tion peut donc être regardée comme parfaitement définie, 

 quelle que soit la fonction sur laquelle on l'exécute. 



Quant aux applications, elles sont particulièrernent 

 intéressantes et elles embrassent un champ considé- 

 rable ; pour s'en faire une idée, il suffit, par exemple, de 

 remarquer que toute identité contenant une lettre arbi- 

 traire peut par généralisation être transformée en 

 identité contenant une fonction arbitraire. Il esta peine 

 besoin d'observer que ce procédé (dont la difîérentia- 

 tion et l'intégration sous le signe ne sont que des cas 

 spéciaux) ne fournira des résultats vraiment nouveaux 

 que lorsqu'il sera appliqué avec discernement. Quoi 

 qu'il en soit, M. Oltramare a montré par de nombreux 

 exemples qu'il est possible d'en déduire les valeurs 

 d'intégrales définies non connues jusqu'ici, ou des 

 relations entre plusieurs intégrales définies, séparément 

 inconnues. 



Un autre groupe d'applications est relatif à l'intégra- 

 tion des équations diflérentielles, au calcul inverse des 

 intégrales définies et à d'autres problèmes de calcul 

 intégral. Ces problèmes, qui sont regardés comme diffé- 

 rents entre eux dans le calcul ordinaire, apparaissent 

 au contraire dans le calcul de généralisation comme 

 étroitement liés les uns aux autres, ou plutôt, ils ne 

 sont tous que des cas particuliers d'un seul problème 

 général. Ce problème est le suivant : Etant donnée la 

 valeur de 



G F (a, »1 = >!>(«), 



