H. POINCARE. 



LES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIEXNF.S 



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les diverses lignes de cette figure puissent changer 

 de forme, sans changer de longueur. En général, 

 cette figure flexible et inextensible ne pourra se 

 déplacer sans quitter la surface; mais il y a cer- 

 taines surfaces particulières pour lesquelles un pa- 

 reil mouvement serailpossiblc : ce sont les surfaces 

 à courbure constante. 



Si nous reprenons la comparaison que nous fai- 

 sions plus haut et que nous imaginions des êtres 

 sans épaisseur vivant sur une de ces surfaces, ils 

 regarderont comme possible le mouvement d'une 

 figure dont toutes les lignes c(mservcnt une lon- 

 gueur constante. Un pareil mouvement paraîtrait 

 absurde, au contraire, à des animaux sans épaisseur 

 vivant sur une surface à courbure variable. 



Ces surfaces à courbure constante sont de deux 

 sortes : 



Les unes sont à courbure jwsitii'e, et peuvent éti'e 

 déformées de façon k être appliquées sur une 

 sphère. Lagéométrie de ces surfaces se réduit donc 

 à la géométrie sphérique, qui est celle de Riemann. 



Les autres sont k courbure 7iér/aiive. M. Beltrami a 

 fait voir que la géométrie de ces surfaces n'est autre 

 ([ue celle de Lowatchewski. Les géométries k deux 

 dimensions de Riemann et de Lowatchewski se 

 trouvent donc rattacliées k la géométrie eucli- 

 dienne. 



Interprétation des çiénmctriex non-euclidienne.^. — 

 .\insi s'évanouit l'objection en ce qui concerne les 

 géométries à deux dimensions. 



Il serait aisé d'étendre le raisonnement de M. Bel- 

 trami aux géométries à trois dimensions. Les es- 

 prits que ne rebute pas l'espace à quatre dimen- 

 sions n'y verront aucune difïiculté, mais ils sont peu 

 nombreux. Je préfère donc procéder autrement. 



Considéronsun certain plan que j'appellerai fon- 

 damental et construisons une sorte de dictionnaire, 

 en faisant correspondre chacun à chacun une double 

 suite de termes écrits dans deux colonnes, de la 

 même façon que se correspondent dans les dic- 

 tionnaires ordinaires les mots de deux langues dont 

 la signification est la même : 



E.':jmcp Portion de l'espace située au-dessus du 



plan fondamental. 



Pl'in Sphère coupant orthogonalement le plan 



fondamental. 



r>)-oiU' Cercle coupant orthngonalemcnl le plan 



fondamental. 



f^pfièrr Sphère. 



Cercle Cercle. 



A}ir/le Angle. 



IH.slance de deux 



points Logarithme du rapport anharmonique 



do ces deux points et des intersections 

 du plan fondanient.al avec un cercle 

 passant par ces deux points et le cou- 

 pant orthogonalement. 

 etc.. etc.. 



Prenons ensuite les théorèmes de Lowatchewski 



UEVUK CliNKRAI.F, ISfll. 



et traduisons-les k l'aide de ce dictionnaire 

 Comme nous traduirions un texte allemand à l'aide 

 d'un dictionnaire allemand-français. À^ous obtien- 

 drons ainsi des théorèmes de la fféométrie ordinaire. 



Par exemple, ce théorème de Lowatchewski: « la 

 somme des angles d'un triangle est plus petite que 

 deux droits n se traduit ainsi : « Si un triangle 

 curviligne a pour côtés des arcs de cercle qui pro- 

 longés iraient couper orthogonalement le plan 

 fondamental, la somme des angles de ce triangle 

 curviligne sera plus petite que deux droits. » Ainsi, 

 quelque loin que l'on pousse les conséquences des 

 hypothèses de Lowatchewski, on ne sera jamais 

 conduit k une contradiction. En effet, si deux théo- 

 rèmesde Lowatchewski étaient contradictoires, il 

 en serait de même des traductions de ces deux 

 théorèmes, faites k l'aide de notre dictionnaire, 

 mais ces traductions sont des théorèmes de géo- 

 métrie ordinaire et personne ne doute que la géo- 

 métrie ordinaire ne soit exemple de contradiction. 

 D'où nous vient cette certitude et est-elle justifiée? 

 C'est \k une question que je ne saurais traiter ici, 

 mais qui est bien intéressante et que je ne crois 

 pas insoluble. Il ne reste donc plus rien de l'ob- 

 jection que j'ai formulée plus haut. 



Ce n'est pas tout. La géométrie de Lowatchewski, 

 susceptible d'une interprétation concrète, cesse 

 d'être un vain exercice de logique et peut recevoir 

 des applications ; je n'ai pas le temps de parler ici 

 de ces applications ni du parti que M. Klein et moi 

 en avons tiré pour l'intégration des équations li- 

 néaires. 



Cette interprétation n'est d'ailleurs pas unique, 

 et l'on pourrait établir plusieurs dictionnaires ana- 

 loguesà celui qui précède et qui tous permettraient 

 par une simple « traduction n de transformer les 

 théorèmes de Lowatchewski en théorèmes de géo- 

 métrie ordinaire. 



Les a.riomes implicites. — Les axiomes explicite- 

 ment énoncés dans les traités sont-ils les seuls 

 fondements de la géométrie? On peut être assuré 

 du contraire en voyant qu'après les avoir succes- 

 sivement abandonnés on laisse encore debout 

 quelques propositions communes aux théories d'Eu- 

 clide, de Lowatchewski et de Riemann. Ces pro- 

 positions doivent reposer sur quelques prémisses 

 que les géomètres admettent sans les énoncer. Il 

 est intéressant de chercher à les dégager des dé- 

 monstrations classiques. 



Stuart-Mill a prétendu que toute définition con- 

 tient un axiome, puisqu'en définissant on affirme 

 implicitement l'existence de l'objet défini. C'est 

 aller beaucoup trop loin; il est rare qu'en ma- 

 thématiques on donne une définition sans la faire 

 suivre par la démonstration de l'existence de l'objet 

 défini, et quand on s'en dispense, c'est générale- 



