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H. POINCARÉ. — LI-:S CÉIIMETHIKS NON liUCLlDlKNNES 



ment (]uc le lecleur y peut aisément suppléer. Il 

 ne faut pas oublier que le mot existence n'a pas le 

 même sens quand il s'agit d'un être mathématique 

 et quand il est question d'un objet matériel. Un 

 être mathématique existe, pourvu que sa définition 

 n'implique pas contradiction, soit en elle-même, 

 soit avec les propositions antérieurement admises. 



Mais si l'observation de Stuart-Mill ne saurait 

 s'appliquer à toutes les définitions, elle n'en est 

 pas moins juste pour quelques-unes d'entre elles. 

 On définit quelquefois le plan de la manière sui- 

 vante : 



Le plan est une surface telle que la droite qui 

 joint deux quelconques de ses points est tout en- 

 tière sur celte surface. 



Cette définition cache manifestement un nouvel 

 axiome ;on pourrait, il est vrai, la changer, et cela 

 vaudrait mieux, mais alors il faudrait énoncer 

 l'axiome explicitement. 



D'autres définitions peuvent donner lieu à des 

 réflexions non moins importantes. 



Telle est par exemple celle de l'égalité de deux 

 figures : deux figures sont égalesquandon peutles 

 superposer; pour les superposer il faut déplacer 

 l'une d'elles jusqu'à ce qu'elle coïncide avecl'autre; 

 mais comment faut-il la déplacer? Si nous le de- 

 mandions, on nous répondrait sans doute qu'on 

 doit le faire sans la déformer et à la façon d'un so- 

 lide invariable. Le cercle vicieux serait alors évi- 

 dent. 



En fait, cette définition ne définit rien : elle n'au- 

 rait aucun sens pour un être qui habiterait un 

 monde oti il n'y aurait que des fluides. Si elle nous 

 semble claire, c'est que nous sommes habituésaux 

 propriétés des solides naturels qui ne diffèrent pas 

 beaucoup de celles des solides idéaux dont toutes 

 les dimensions sont invariables. 



Cependant, toute imparfaite qu'elle soit, cette 

 définition implique un axiome. 



La possibilité du mouvement d'une figure inva- 

 riable n'est pas une vérité évidente par elle-même; 

 ou du moins elle ne l'est qu'à la façon du postu- 

 latum d'Euclide et non comme le serait un juge- 

 ment analytique a priori. 



D'ailleurs en étudiant les définitions et les dé- 

 monstrations de la géométrie on voit qu'on est 

 obligé d'admettre, sans les démontrer, non seule- 

 ment la possibilité de ce mouvement, mais encore 

 quelques-unes de ses propriétés. 



C'est ce qui ressort d'abord de la définition de 

 la ligne droite. On en a donné beaucoup de défec- 

 tueuses, mais la véritable est celle qui est sous-en- 

 tendue dans toutes les démonstrations où la ligne 

 droite intervient : 



« Il peut arriver que le mouvement d'une figure 

 invariable soit tel que tous les points d'une ligne 



appartenant à cette figure restent immobiles pen- 

 dant que tous les points situés en dehors de cette 

 ligne se meuvent. Une pareille ligne s'appellera 

 une ligne droite. » Nous avons à dessein, dans cet 

 énoncé, séparé la définition de l'axiome qu'elle 

 implique. 



Beaucoup de démonstrations, telles que celles 

 des cas d'égalité des triangles, de la possibilité 

 d'abaisser une perpendiculaire d'un point sur une 

 droite, supposent des propositions qu'on se dis- 

 pense d'énoncer, puisqu'elles obligent à admettre 

 qu'il est possible de transporter une figure dans 

 l'espace d'une certaine manière. 



La quatrième géométrie. — Parmi ces axiomes 

 implicites, il en est un qui me semble mériter 

 quelque attention, non seulement parce qu'il a 

 donné lieu à une discussion récente', mais parce- 

 qu'en l'abandonnant, on peut construire une qua- 

 trième géométrie aussi cohérente que celles d'Eu- 

 clide, de Lowatchewski et de Riemann. 



Pour démontrer que l'on peut toujours élever en 

 un point A une perpendiculaire à une droite AB. 

 on considère une droite AC mobile autour du point 

 A et primitivement confondue avec la droite fixe 

 AB; et on la fait tourner autour du point A jus- 

 qu'à ce qu'elle vienne dans le prolongement deAB. 



On suppose ainsi deux propositions : d'abord 

 qu'une pareille rotation est possible, et ensuite 

 qu'elle peut se continuer jusqu'à ce que les deux 

 droites viennent dans le prolongement l'une de 

 l'autre. 



Si l'on admet le premier point et que l'on rejette 

 le second, on est conduit à une suite de théo- 

 rèmes encore plus étranges que ceux de Lowat- 

 chewski et de Riemann, mais également exempts 

 de contradiction. 



Je ne citerai qu'un de ces théorèmes et je ne 

 choisirai pas le plus singulier : %me droite réelle peut 

 être perpendiculaire à elle-même. 



Le Théorème de Lie. — Le nombre des axiomes 

 implicitement introduits dans les démonstrations 

 classiques est plus grand qu'il ne serait néces- 

 saire, et il serait intéressant de le réduire au 

 minimum. On peut se demander d'abord si cette 

 réduction est possible, si le nombre des axiomes 

 nécessaires et celui des géomètries imaginables 

 n'est pas infini. 



Un théorème de M. Sophus Lie domine toute 

 cette discussion. On peut l'énoncer ainsi : 



Supposons qu'on admette les prémisses sui- 

 vantes : 



> Voir MM. Renouvier, Lcchalas, Calinon. Revue Philoso- 

 phique, juin, 1889. Critique Philosophique, .30 septembre et 

 30 novembre 1889; Revice Philosophique, 1890, page 138; 

 voir en particulier la discussion sur le <( postulat de perpen* 

 dicularito ». 



