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OBSERVATION 



SUR L'INTERPOLATION 



PAR 



C. A. LAISA.NT 



La remarque dont il s'agit n'est pas nouvelle. Je l'ai présentée 

 jadis à la Société Mathématique de France, qui l'a insérée dans son 

 Bulletin (1891, p. 44). Si je me permets de la reproduire, c'est qu'à 

 mes yeux le problème de Tinterpolation est de la plus haute impor- 

 tance pour l'application de la méthode mathématique aux données 

 fournies par l'expérience. J'ai eu l'occasion, il y a plusieurs années 

 déjà, de mettre en pratique l'observation dont nous parlons. De plus, 

 il n'est pas mauvais, ce me semble, de revenir sur ce problème si 

 intéressant et si utile de l'interpolation, à une époque où on l'a 

 expulsé des programmes classiques, dans lesquels il avait longtemps 

 figuré, sans qu'on puisse deviner les causes de cette expulsion. 



On sait qu'en général la question de l'interpolation se pose de la 

 manière suivante : 



Connaissant Ji valeurs Mj, m,,... u^ d'une fonction, correspon- 

 dant aux n valeurs a?j, a?2,... x„ de la variable, déterminer 

 cette fonction U (x). 



Le problème est évidemment indéterminé, car par n points on peut 

 faire passer une infinité de courbes. On le précise en assujettissant la 

 fonction U à être un polynôme en x de degré w + 1 au plus. La 

 formule de Lagrange, et celle de Newton qui en est un cas particu- 

 lier, en donnent alors la solution. 



Mais cette hypothèse, que U est un polynôme entier, est fort souvent 

 contradictoire avec la nature de la question concrète qu'on veut résou- 

 dre, et par cela même inadmissible. Or, de la formule de Lagrange, 

 on peut déduire une infinité d'autres, permettant de substituer à un 

 polynôme entier une fonction dont la nature peutètre choisie à volonté. 



