OBSERVATION SUR l'iNTERPOLATION 69 



Cette formule de Lagrange peut s'écrire sous la forme 

 \](x) = XiW, -h X2W2+ ■•■-+■ X„r<„, 

 X; étaut un polyi)ôme en x, qui devient égal à 1 pour x = xj et 

 qui s'annule pour les n — 1 autres valeurs données Xi, x^, ..., 

 différentes de Xj. 



Gela étant, considérons une fonction arbitraire ^{z), et désignons 

 par 'i^(z) la fonction inverse. Il en résulte que ?[4'(s)J = -, et que 

 «|/|^çp(z)J = z. Si par exemple œ est un sinus, »]> sera un arc sinus ; si 

 «p est un logarithme, 4' sera une exponantielle, etc. Et, à la place de 

 la formule de Lagrange, écrivons 



U(x) = cp[x,4.(t/,)-f-X2'Kw2) + ■•• + X„'Kw„)]. 



Pour une valeur Xj donnée à la variable, X,, X,, ... s'annulent, 

 sauf Xj qui devient égal à l'unité, et il vient 



Ainsi, les conditions remplies par la formule de Lagrange sont 

 encore remplies, et l'interpolation est obtenue au moyen d'une fonc- 

 tion c» complètement arbitraire. 



La méthode de Lagrange prend ainsi une extension et une souplesse 

 extrêmes, qui lui donnent une incontestable valeur pratique. 



On peut étendre la généralisation ci-dessus à toute autre formule 

 d'interpolation que celle de Lagrange. Soit en effet 



\{X) = F{X, Xi, . . . , Xn, Ui, M2, . . . , ll„) 



une telle formule. 



Pour X = Xj, la fonction F doit se réduire identiquement à Uj. 

 Si on y remplace tous les u par ^u), 



F{xj, Xi, X.2, ...,X„, (Î^(î/i), MUi), . . . , '^{Un)} 



se réduira donc à '\>{uj) ; par conséquent 



U(a') = cp Y(x, Xi, X.,, . ., Xn, 'K^i), . . ., ^[Un)) 

 donnera 



\][Xj) = cp(<|>(Wj)) = Uj, 



si bien que nous aurons encore une formule résolvant la question 

 d'interpolation posée. 



