POUR LA THÉORIE DES NOMBRES 75 



Je suppose que ces a soient écrits en avant du chiffre supérieur 

 à obtenu en divisant 10°'+' par l). 



L'entier du quotient de 10" : D, m >■ a, est formé d'une première 

 suite de n chiffres, les a premiers à gauche étant des 0. Soit Rj le 

 reste de 10" : D. 



Lorsque l'on divise 10-" par D, l'entier du quotient est formé 

 d'abord par la suite précédente de n chiffres, puis par une autre suite 

 aussi de n chiffres; cette dernière suite est le quotient de lORi : D, 

 Soit R2 le reste de 10-" : D ou de lO"Ri : D. 



J'appelle segment de l'entier du quotient de 10^" : D chacune des 

 deux suites précédentes. Soient Si et Sj ces deux segments. 



2. De 



10" = DS, -f-R„ 

 on tire 



(1) 10"Ri =DSiRi+Rf. 

 Or, en divisant 10"Ri par D, on a 



(2) 10"Ri = DS2 + R2. 



Deux cas se présentent en comparant les égalités (1) et (2). 

 1° Si R? < D, 



on trouve 



S2 = SiR„ R2 = Rf. 



2" Si R? > D, 



on trouve, en désignant par <g(N : D) et ^(N : D) l'entier et le reste 

 du quotient de N : D, 



S2 - S,Ri + <g(R? : D), R, = ^(R? : D). 



3. Dans le cas 1°, si P > 2, quand 



R? < D < ll?+», 



on considère des segments S3, S4, . . ., Sp_^_i ayant chacun n chiffres. 

 Alors 



S3 = SiRf, R? < D, 



S, = SiRrs R? < D, 



Sp+i = S,R? -h <ê(Rr' : D), Rg+. = ^(Rr^ : D). 



4. Dans le cas 2°, on considère le segment Si formé par l'ensemble 

 des deux segments Si et Ss écrits bout à bout, dans leur ordre; SI a 

 2 n chiffres; on calcule^ comme précédemment, le segment Sa qui a 

 aussi 2 n chiffres. Et ainsi de suite. 



5. Par suite, après avoir calculé un premier segment de l'entier du 

 quotient de 10"' : D, on peut obtenir successivement d'autres seg- 

 ments par un petit nombre de multiplications, dont les multiplica- 



