106 JOSEPH DESCHAMPS 



montrer qu'une analyse plus approfondie de la méthode d'Eratosthène 

 fait apparaître dans la succession des multiples des différents nom- 

 bres premiers des circonstances de régularité remarquables qui suf- 

 fisent aies caractériser et vont nous permettre en outre de réduire 

 les écritures dans des conditions telles que le défaut tant incriminé 

 jusqu'ici tpmbe de lui-même et que, par conséquent, le fameux re- 

 proche, qui est d'ailleurs le seul, puisque le principe de la méthode 

 est intangible, cesse d'être justifié. 



Nous allons, à cet é/ard, démontrer les théorèmes suivants, qui énon- 

 cent les propriétés que nous avons en vue, et qui doivent être regar- 

 dées comme le complément indispensable de l'exposé de la méthode 

 d'Eratosthène. Nous ferons remarquer que, pourla commodité du lan- 

 gage, nous parlons de la suppression des multiples des nombres pre- 

 miers successifs ; mais il reste entendu que ces multiples, suppri- 

 més dans la suite naturelle des nombres, continuent à être réunis 

 dans les listes dont nous avons parlé. 



II. — Propriétés de la méthode d'Eratosthène. 



Théorème I. — Lorsqu'on} supprime dans la suite des nombres les 

 multiples du nombre premier p après avoir supprimé les multiples 

 des nombres premiers inférieurs à p : 



i° les résidus forment une suite périodique ; 



2° la valeur de la période est égale au produit 2.3. . . n.p. 



Nous remarquerons d'abord qu'après la suppression des multiples 

 de 2, les nombres résiduels forment une suite périodique dont la 

 période est égale à 2, les éléments de chaque période étant en nom- 

 bre égal à 1. On doit ensuite supprimer dans cette suite tous les 

 multiples de 3, à partir du carré 9 de ce nombre. Or, si nous grou- 

 pons les nombres résiduels supérieurs en groupes composés de 3 

 des périodes antérieures, les groupes ainsi formés sont évidemment 

 périodiques, la valeur de la nouvelle période étant égale à 2.3 ou 6. Il 

 en résulte que les nombres correspondants de cette nouvelle période 

 sont en même temps, ou non, multiples de 3, chaque période com- 

 prenant d'ailleurs certainement un multiple de 3 etun seul. Dès lors, 

 si l'on supprime tous les multiples de 3, les nombres résiduels for- 

 ment une suite périodique, pour laquelle la période est égale à 2.3. 

 Nous remarquerons en outre que le nombre des éléments de chaque 

 période est égal à 2. 



Le théorème énoncé est donc vrai pour p = 3. 



