SUR LA MÉTHODE d'ÉRATOSTHÈNE 105 



Cela étant, pour démontrer le théorème dans toute sa généralité, 

 il suffit de démontrer que, s'il est vrai pour un nombre premier n, 

 il est vrai pour le nombre premier immédiatement supérieur p. 



Supposons donc qu'après avoir supprimé tous les multiples du 

 nombre premier n, les résidus forment une suite périodique pour 

 laquelle la période soit égale au produit 2.3. ... n de tous les nom- 

 bres premiers jusqu'à n, et proposons-nous de supprimer dans la 

 suite restante les multiples du nombre p immédiatement supérieur 

 à n, à partir de son carré p^. Pour cela, groupons les nombres rési- 

 duels supérieurs à p- en groupes formés chacun de p des périodes 

 précédentes. L'ensemble de ces groupes forme une nouvelle suite 

 périodique pour laquelle la période est égale à 2.3. ... n.p. Or 

 il est clair que les nombres correspondants de cette nouvelle suite 

 sont eh même temps, ou ne sont pas, multiples de p. Lors donc 

 qu'on y supprime tous les multiples de p, les nombres résiduels 

 consécutifs à cette suppression forment une suite périodique pour 

 laquelle la période est égale au produit 2.3. ... n.p, ainsi qu'il a 

 .été annoncé. 



Or le théorème étant vérifié, comme nous l'avons vu, pour n = 2, 

 est vrai par suite pour p — 3, et ainsi de suite indéfiniment pour 

 tous les nombres premiers consécutifs. 



Corollaire. — Pour supprimer les multiples du nombre premier p, 

 il suffit (/'écrire un seul groupe formé des p premières périodes cor- 

 respondant au nombre premier n et supérieures à p'^, et d'y suppri- 

 mer les multiples de p. Les nombres restant forment la première 

 période correspondant au nombre p, et l'on forme les autres périodes 

 par l'addition de la période 2. 3, . . . n.p. 



Théorème II. — Le nombre des multiples du nombre premier p 

 que l'on supprime directement dans le groupe formé des p périodes 

 consécutives correspondant au nombre premier immédiatement infé- 

 rieur w, est égal au nombre des éléments de cette dernière période. 



Ecrivons en elfet ces p périodes les unes au-dessous des autres 

 de façon que les éléments correspondants se trouvent sur une même 

 ligne verticale, et considérons une de ces lignes. Sur les p nombres 

 qui les forment, et en raison de leur différence constante 2. 3, . . . w 

 non divisible par p, il y en a un et un seul qui est divisible n. Donc 

 le nombre total des multiples de p dans le groupe est égal au nom- 

 bre des colonnes, c'est-à-dire au nombre des éléments qui corres- 

 pondent au nombre premier n immédiatement inférieur à p. 



Le théorème est donc démontré. 



