SUR LA MÉTHODE d'ÉRATOSTHÈNE 109 



en p, c'est-à-dire comme ils le sont, mais alors exactement, dans 

 la suite naturelle des nombres. 



Corollaire. — La suite des nombres premiers tend vers un régime 

 permanent et périodique. 



En résumé, l'application de la méthode d'Eratosthène fournit 

 les résultats suivants : 



1° Les résidus consécutifs à la suppression du nombre premier p for- 

 ment une suite périodique, dont la période est 2. 3. . . . n. p, et dont 

 le nombre d'éléments est (2 — 1) (3 — 1) ... (n — 1) (p — 1) ; 



2° Les multiples du nombre premier p forment eux aussi une suite 

 périodique, dont la période est 2. 3 . . . n.p et dont le nombre d'élé- 

 ments est (2— 1)(3 —1) . . .(n— 1): 



3° Les rangs des multiples du nombre premier p sont les nombres qui 

 forment la suite périodique consécutive à la suppression des multiples 

 du nombre premier n immédiatement inférieur à p. 



Vérification des théorèmes précédents. — 11 est facile de constater 

 la réalisation successive des faits qui viennent d'être énoncés. 



Ainsi, nous avons déjà fait remarquer que la supression des mul- 

 tiples de 2, laisse comme résidu la suite des nombres impairs qui 

 constituent une suite périodique dont la période est 2, le nombre 

 des éléments de la période étant égal à 2 — 1 = 1. Prenons trois de 

 ces périodes : 



o 

 7 



y 



cet ensemble contient un multiple de 3 et un seul qui est 9. Dès lors : 

 1° Les multiples de 3 constituent une suite périodique dont la 

 période est 2.3 = 6, le nombre des éléments de cette période 



9 

 15 

 21 



restant égal à 1 ; 



2° La suppression de ces multiples de 3 laisse à la suite du carré 

 9 de ce nombre une suite périodique de période 6, et dont le nom- 

 bre des éléments est (2 — 1) (3— 1) = 2. 

 Cette suite est 



11 13 

 17 19 

 23 25 



