SUR LA MÉTHODE d'ÉRATOSTHÈNE 119 



nous en concluons 



1241 = 17x(13-+-30.2 



= 17.(13 -+-60) 

 et finalement 



1241 = 17.73. 



Dans le cas où aucune différence n'est divisible par le facteur en 

 regard, le nombre est premier. 



3° Moyen d'étendre les tables et de les maintenir ouvertes. — La 

 table précédente est une table fermée et ne peut servir pour les 

 nombres supérieurs à 1369 que si leur plus petit diviseur premier 

 est inférieur à 37. Cette limitation des tables, si étendues qu'elles 

 soient, est toujours un immense inconvénient ; car, malgré tout le 

 travail dépensé, elles deviennent un instrument inutile, dès qu'on 

 se trouve en présence d'un nombre supérieur à la limite, et pour 

 lequel les seuls essais que peuvent fournir la table sont restés in- 

 fructueux. 



Est-il possible de supprimer cet inconvénient si grand, et pou- 

 vons-nous commodément étendre au-delà de ses limites une table 

 déjà construite ? De plus, la règle à suivre pour cela est-elle assez 

 simple pour que cette extension puisse se faire par chaque opéra- 

 teur, suivant les circonstances, si bien que la table, au lieu d'être 

 fermée, devienne et reste une table réellement ouverte ? La réponse 

 à cette question va résulter des explications suivantes. 



Soit ah un produit de deux facteurs premiers ou non, tel qu'en 

 le divisant par la période p, on ait un quotient q et un reste r, 

 conformément à l'égalité 



(1) ab = pq -\-r. 



Ajoutons à chacun de ces facteurs un même multiple kp de la 

 période ; nous aurons : 



(a H- kp){b H- kp) = ab -h kp[a -+- 6 -f- kp), 

 d'oii, en tenant compte de l'égalité (1) 



(2) (a H- kp){h -\- kp) = p [ q -\- k{a -h b -h kp) \ -hr. 



Donc : 1° le nouveau produit fournit à la division par la période p 

 le miéme reste que le précédent ; 



2° le quotient de cette division se déduit du quotient primitif d'une 

 façon simple exprimée par la formule précédente. 



Dans le cas particulier de k = l, le nouveau quotient qi a pour 

 expression 



(3) qi =q-h(a-hb-^p) ; 



