LA xMAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 185 



(Ve de ce ranc; est significatif dans la clé, et il est évident que les chii- 

 fVes d'un même rang sont tous si le chillre de ce rang est dans la 

 clé. 11 résulte de là que tous les termes de la série sont dillerents, 

 numéralement et réellement. 



Si tous les chiffres de la clé sont signiticatifs, un petit calcul démontre 

 que la somme réelle des p termes est égale à la somme magique d'un 

 espace magique à autant de dimensions <|u'il y a de chilfres dans la 

 clé. 



Ces séries sont dites magiques et les autres d' invar ialion. 



Propriété genrralk. — La somme numérale 



a X ri + bx i:,i\ + . . . -i- » X (p — 1 )'"i 

 dans laquelle lescoetiicients des termes de la série numérale (ri) sont 

 des nombres commensurables quelconques, positifs ou négatil's, ou 

 des 0, est toujours égale numéralement à un terme de cette série. 



Cela résulte immédiatement de ce que la somme numérale et ladit- 

 férence numérale de deux termes est toujours égale à un terme de la 

 série, et qu'il en est de même du produit et du (piotient d'un terme 

 par un nombre entier quelconcfue, et par suite par un nombre frac- 

 tionnaire quelconque. 



0. — Les séries numérales du deuxième ordre. 



Considérons maintenant, toujours dans la môme base, p, une 

 deuxième série numérale (r,) dont la clé i\ n'est pas un terme de la 

 série nnmérale (r,). Si l'on ajoute successivement aux p nombres de 

 ia série (r,), suivant la loi de l'addition numérale, les p nombres de 

 la série {r.,), on obtient p suites de p nombres, soit p- nombres. 



.l'appelle cette suite de p' nombres série numérale du deuxième 

 ordre et la désigne par le symbole (r,, r.2). 



Les nombres rj et r, sont les deux clés de cette série 



Propriété ue nojm-répétion- — Les p^ nombres d'une série numérale 

 du deuxième ordre sont tous dillerents. 



Soient ari-\-br.2 et c)\-\-dr.^ deux termes dillerents de la série 

 (/■i, j'j), (/, b, c, d étant des nombres entiers parfaitement déterminés 

 par les rangs des deux termes. 



11 nous suffira de démontrer l'impossibilité de cette égalité numé- 

 rale 



ar, -h br., = crj -1- dr.,. 



Si Ij était égal à d l'égalité ne pourrait exister (|ue si a était égal 



