186 G. TAliRV 



à c, mais alors les deux termes se confondraient au même rang. 

 Pareillement si a était 'égal à c. Nous n'avons donc à considérer que 

 le cas où a est difterent de c, et b différent de d. 

 Mettons l'égalité sous la forme 



(b — d)i\ = (c — a)i\ 

 divisons les deux membres par b — d et nous aurons 



c — a 



''= T^i '•'• 



Il résulte de la propriété générale de la série numérale du premier 



ordre que -7 — -7 r,, et par suite r_,, est un ternie de la série (rj). 



Or le nombre r^ est précisément assujetti à la seule condition de ne 

 pas être un terme de la série (ri). Donc l'égalité est impossible. Ce 

 qui démontre que les p- termes de la série (rj, r^) sont tous diffé- 

 rents. 



Propriiïtk générale. — 11 est évident (jue la somme numérale de 

 deux termes quelconques d'une série numérale du deuxième ordre est 

 un terme de cette série. 



{aVi + br^) + (cTi H-ûfri) = (a -h c)}\ -\- {b -4- d)r^_. 

 On en conclut qu'il en est de même de la différence de deux termes, 

 du produit ou quotient d'un terme par un nombre commensurable 

 quelconque, positif ou négatif, enlin (|ue la propriété générale des 

 séries numérales du premier ordre s'étend aux séries numérales du 

 deuxième ordre. 



6. — La table d'addition numérale. 



Plaçons les p suites de p nombres de la série numérale (?-,, )\) les 

 unes au dessous des autres dans les cases d'un échiquier. 



Notre série numérale du deuxième ordre se présentera sous la forme 

 de la table suivante : 



r, 2ri ... (/) — l)ri 



^2 Ti -h r, 2r, + r, ... (;j — 1 )r-, + r^ 



2r2 ri-h2>-, 2r,+2r, ... (p— Ijr.+ar, 



ip — l)r.2 i\^(p—l)r. 2/'i -+-(/>— 1)?'2 ... (/3— l)n-h(p — 1>%. 

 La première ligne est formée par la série numérale {ri), la pre- 

 mière colonne par la série numérale (r^), et tout nombre de la table, 



