LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 187 



situé au croisement d'une ligne et d'une colonne, est égal à la somme 

 numérale du noml)re de la série (ri) situé en tête de la colonne et du 

 nombre de la série (r.,) en tète de la ligne. 



Nous avons construit une tahlc d'addition numérale dont tous les 

 nombres sont différents. 



Donnons deux chiffres aux clés r^ et r.y. 



La table d'addition sera construite avec les p'^ premiers nombres 

 entiers, de à p- — I. 



Représentons les positions de chaque case par son point central, et 

 prenons pour axes de coordonnées des x et des y la ligne des centres 

 des cases de la première rangée et la ligne des centres des cases de la 

 première colonne. Représentons aussi en position au point central le 

 nombre situé dans la case, qui s'appelle affixe de ce point ou de cette 

 case. Enfin prenons pour unité de longueur le C(Mé d'une case. 



La position d'une case xy, dont les coordoiniées sont x et y, sera 

 tisée par les grandeurs de x et y. Ainsi la case 35 sera placée dans 

 la 3' colonne après la première et dans la 5'' rangée après la première. 



La propriété de notre carré d'être une table d'addition numérale 

 s'énoncera ainsi : L'affixe d'une case xy est égal à la somme numé- 

 rale r,a -t-)"2,'/- 



J'appelle groupes éguipollenis deux groupes d'un même nombre de 

 cases, Al, A.,, . . . A„ et B,, B2, ... B„, tels que les droites AjBi, AoB., 

 . . . A„B„, qui joignent les centres des cases correspondantes soient 

 égales et parallèles de même sens. 



Soient a.i,'/i, Xit/.,^ ■ ■ ■ •ï«.'/« les positions des cases Ai, A,, . . . A„. 

 IjCS afîixes de ces points sont numéralement égaux à 



riXi -+- r^yu riX.,-h r^y., . . . 7-iX„ + iwy,,. 



Lesdroites AiB,, A2B2, ... A„B„ étant égales et parallèles de même 

 sens, leurs projections sur l'axe des x sont toutes égales à une même 

 longueur a etsurl'axedes y aune môme longueur 6. En conséquence, 

 les artixes des points Bi, Bo, . • . B„ sont numéralement égaux à 

 i'i{Xi -+- a) -h r.{yi -+- b), ri{x.^ -t- a) 4- ^^{y. -+- 6), 



. . . i\{xn-i-a)-{~-r-2{yn~+~fj} 

 c'est-à-dire aux afîixes de Ai^ A.2, . . . A„ augmentés numéralement 

 d'unmêmenombre riaH-j'iô. 



Et réciproquement, si l'on augmente numéralement d'un même 

 nombre tous les alTixes d'un grou|)e de cases, les afîixes obtenus 

 appartiennent à un groupe équipollentde cases. 



Il est évident, géométri(iuement et arithmétiquement, que deux 

 groupes de cases équi[)ollents à un troisiènie sunt équi|)ollenls entre 

 eux. 



