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On remarquera que si un groupe se compose de p cases en ligne 

 droite et équidistantes Aj, A.,, . . . A,„ les droites Aj Ao, A?. A3, . . . 

 Ap^iAp sont égales et parallèles de même sens, et par conséquent 

 les atiixes de ces p cases sont les p termes d'une progression arith- 

 tnétique numérale, et réciproquement. 



Comme des cases pourraient se trouver en dehors du carré de notre 

 table d'addition, nous supposerons que tout le plan est recouvert par 

 un échiquier, dans les cases duquel on a placé des tables d'addition 

 identiques à celle (pii nous occupe. Alors, si une case tombe en dehors 

 de la table, nous saurons qu'elle se trouve sur un autre échiquier à 

 une place homologue à celle que lui assigne son atiixe dans la table, 

 et nous l'y reporterons par la pensée. De cette manière, nous ne serons 

 plus forcés de déformer des figures régulières pour les faire rentrer 

 dans l'espace congruent du carré de la table d'addition. 



Pour additionner numéralement les affixes des points Ai, A,, A3, . . . 

 An, il est clair qu'il suffit de construire le contour polygonal OAi A'2 — 

 A'3 . . . A'„ dont le premier côté est OAi, étant la case d'affixe 

 0.0, et dont les autres Ai A'», A', A'3, ... A'„_i A'„ sont respective- 

 ment égaux et parallèles de même sens à OAo, OA3, . . . 0A„. La 

 somme cherchée est l'affixe de la case située en A'„ sur l'échiquier qui 

 recouvre tout le plan. 



On voit que la méthode numérale est similaire à celle des équipol- 

 lences, et on pressent que la théorie résultant de la conception de la 

 somme numérale peut être aussi féconde en arithmétique de position 

 que la théorie des équipollencesen géométrie pure. 



Aussi ne sera-t-on pas surpris d'apprendre que la théorie numérale 

 a révélé l'existence de carrés magi(|ues aux n premiers degrés, quelle 

 (jue soit la grandeur de )i, et a même donné une méthode très élé- 

 mentaire pour construire ces carrés presque automati([uement, et les 

 représenter entièrement par des symboles. 



7. — Les lignes magiques. 



Revenons à notre table d'addition numérale de clés i^ et r^- 



Toute série numérale du premier ordre, dont les deux chirtres de 

 la clé sont signilicatil's, renferme le nombre 0.0 et p — 1 autres 

 nombres qui ont leurs deux chiflVes signiticatifs. 



Dans notre table il y a (p — 1)^ nombres à leurs deux chilires signi- 

 ficatifs. 



Soit Oi.Oi l'un deux. La série numérale (oi Jh) comprend p — 1 de 

 ces nombres, qui avec 0.0 sont les afïixes de p cases équidistantes 



