LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 189 



en ligne droite. Une ligne de p cases ainsi réparties s'appelle ligne 

 arithmétique. 



Soit ar^.h.^ nn antre des {p — \Y nombres à deux chifïVes signili- 

 catils, et non compris dans les termes de la série {a^.bi). Il est clair 

 que les nombres de la série numérale (ai.bo) sont tous différents des 

 nonibres de la série {a^.lh), à l'exception de 0.0, et déterminent par 

 leurs affixes un autre ligne arithmétique de p cases dont p — 1 sont 

 nouvelles. 



Pareillement, si un autre de ces [p — 1)- nombres, ch.b^, n'appar- 

 tient à aucun des nombres des séries précédentes, {a^.hi) et {a.,. h.,}, la 

 série numérale (r';^. ^3) assignera par leurs atlixes les positions de p 

 cases, dont p — 1 nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à la (p — 1)' série 

 numérale (a,,_, . (jp_i). 



Ces p — 1 séries numérales du premier ordre, qui sont magiques, 

 déterminent par leurs aftixes p — 1 lignes arithméticpies appelées 

 liff)7es magiques. Ces p — i- lignes magiques passent par la case 0.0, 

 et leurs {p — 1)^ autres cases sont les (p — 'l)^ cases du carré dont les 

 affixes ont tous leurs chitfres signiticatifs. 



De même les deux séries numérales (0.1) et (1.0), qui sont d'inva- 

 riation, déterminent deux lignes arithmétiques appelées lignes d'inva- 

 riation ; elles passent par la case 0.0 et occupent les %:p— 1) cases 

 dont les affixes ont un parmi leurs chiHres. 



Ainsi toute case du carré de la table se trouve nécessairement sur 

 une ligne arithmétique, magique ou d'invariation, qui passe parla 

 case 0.0. 



En ajoutant successivement aux aftixes de la ligne arithmétique 

 correspondant à la série {a.b) les p nombres dune autre série numé- 

 rale {c.d), dont la clé n'est pas un terme de la série (a. />), nous savons 

 qu'on obtient p lignes arithmétiques C([uipollentes ou parallèles, etque 

 ces p lignes parallèles sont toutes magiques ou toutes d'invariation ; 

 elles occupent les/;- cases de la table et caractérisent ce qu'on appelle 

 une direction. 



On a toujours deux directions d'invariation et/j — 1 directions magi- 

 ques. 



Conclusion. 

 La tablk d'addition numérale est un carré hypermauique. 



8. — Les constellations magiques. 



C'est M. Gabriel Arnoux (jui a découvert les cai'rés hyj)ermagiques. 

 Dans son admirable étude sur les espaces arithméti(iues hypermagi- 



