LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 191 



sur le plan du carré, parallèlement à elle-même, elle découvrira suc- 

 cessivement tous les groupes équipollents de p cases. 



Nous pouvons maintenant énoncer la propriété générale du carré 

 hypermagique sous cette forme élégante : 



Dans tout carré hypermagique de base p, il y a des gi'illes magiques 

 en nombre égal à la factorielle de p — 1. 



La méthode de la table d'addition a l'avantage de mettre à nu la 

 structure des carrés hypermagiques, mais elle ne peut donner <|ue les 

 carrés hypermagiques dans lesquels les p aftixes de toutes les lignes 

 arithmétiques, magiques ou d'invariation, sont les termes d'une pro- 

 gression arithmétique numérale. 



On obtiendra tous les carrés hypermagi(iues en permutant de toutes 

 les manières possibles les chiffres de chaque rang dans les atfixes des 

 tables d'addition. Il est d'ailleurs évident qu'après cette transformation 

 les lignes et les constellations magiques conservent leurs propriétés 

 magiques. Un calcul très simple établit que le nombre total des carrés 

 hypermagiques est p{p -h 1)(1 .2 . . . p)'^ se répartissant en 



P'^p— i-Yip -+- 1) carrés mis à nu 

 et p''{p — iY{p + 1)[(1 .2 ... p — 2)^ — IJ carrés voilés. 



9. — Les carrés panmagiques types. 



Dans un carré il y a <|uatre directions qui sautent immédiatement 

 aux yeux, ce sont les deux directions parallèles aux côtés du carré et 

 les deux directions parallèles aux diagonales; les autres se trouvent 

 un peu masquées, de sorte que leurs propriétés magiques n'ont frappé 

 que plus tard l'esprit. C'est pourquoi l'attention s'est portée plus par- 

 ticulièrement sur les carrés <|ui donnent la magie dans ces quatre 

 directions, et que nous appellerons Càrvés panmagiques. 



Nous allons faire connaître une méthode très simple pour construire 

 tous les carrés panmagiques, en parlant de quelques-uns d'entre eux 

 que nous.appellerons carrés types. 



Les carrés que nous choisissons [)Our types sont les tal)les d'addition 

 numérale, figurant des séries numérales du deuxième ordre {l A, a.h) 

 dont la première clé sera invariablement 1 . 1 et nous servira de passe- 

 partout. 



Pour que la série soit numérale ou, en d'autres termes, pour (jue 

 les P' nombres de la table d'addition soient différents, il faut et il 

 suffit (|ue la clé a.h ait ses deux chiffres différents, puisque tous les 

 termes de la série (1. 1) ont leurs deux chidres égaux. 



