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Toutes les lignes horizontales de notre carré sont magiques, par le 

 fait seul que le passe-partout 1.1 a ses deux chiffres significatifs. 



Pour que toutes les colonnes soient aussi magiques, il Tant et il 

 suffit que les deux chiffres de la clé a.b soient significatifs. 



La première diagonale, partant de la case 0.0, passe par la 

 deuxième case de la deuxième ligne, qui a pour aflixe le nombre dont 

 les deux chiffres sont congruents à a + 1 et h -^- l. Par consécpient, 

 pour que la direction de la première diagonale soit magique, il faut 

 et il suffit que ces deux chiffres soient différents de 0, c'est-à-dire 

 que a et b soient différents de p — 1. 



La ligne parallèle à la seconde diagonale qui passe par la case 0,0, 

 passe aussi par la dernière case de la deuxième ligne, qui a pour 

 affixe le nombre dont les deux chiffres sont a — 1 et b — 1. Par con- 

 séquent, pour que la direction de la seconde diagonale soit aussi 

 magique, il faut et il suffit que a et ^ soient différents de 1 . 



En résumé, les conditions nécessaires et suffisantes pour que le 

 carré soit panmagique sont les suivantes : 



Les chiffres de la clé a.b du carré. doivent être tous deux différents 

 de 0, 1 et p — i, et de plus différents entre eux. 



Par exemple, la table d'addition numérale (i .1, 2.3) ligurera tou- 

 jours un carré panmagique de base p. On remarquera que le sym- 

 bole (1 .1, 2.3) représente et détermine une infinité de carrés panma- 

 giques, dont la base est un nombre premier plus grand ([ue ï. 



Il est presque évident que le nombre des carrés types différents est 

 (/9-3)(;?-4). 



11 suffira ensuite de permuter de toutes les manières possibles les 

 chiffres de chaque rang dans tous les carrés types, pour obtenir tous 

 les carrés panmagiques différents, dont le nombre s'élève à 

 (p-3)0^-4.)(1.2...p?. 



J'entends par carres différents, conformément à l'usage, ceux qui 

 paraissent différents aux yeux d'un spectateur immobile devant le 

 tableau. 



En réalité, le nombre des carrés panmagiques différents est 8 lois 

 moindre, parce que chaque carré peutêtre vu sous 8 aspects différents. 



Observations. 



Toutes les propriétés des carrés magiques que nous venons de pas- 

 ser en revue, sont des conséquences immédiates de la méthode ima- 

 ginée par La Hire, retrouvée et perfectionnée par M. G. Arnoux. 



