LA MAG1R ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 193 



iNous avons voulu les l'aiie voir en nous i)lavant au point de vue 

 d'où l'on découvre la magie supérieure. 



Après ce que nous venons de dire, nous sommes eu uiesure d'expo- 

 ser en ()uei(|ues pages la théorie des carrés magi(|ues et panmagiques 

 à tous les degrés, qui est d'une simi)licité véritablement magique. 



10. — Les grilles. 



Je complète cette esquisse de la magie au premier degré par quel- 

 ques remarques sur les grilles. 



La (igure syuiétrifiue d'une grille magi(|ue, par ra[)port au centre 

 d'une case quelconque du carré, est toujours une grille magique. En 

 choisissant la case centrale, on voit que si l'on lait tourner une grille 

 magique d'un angle de 180" autour du centre du carré, on obtient 

 une autre grille magique. Or toute grille a 8 orientations, \ par face. 

 Par conséquent, dans les 8 orientations d'une grille magi(|ue quel- 

 conque, 2 au moins sont toujours magiques, 



Dans les carrés panmagi(|ues, pour que les 4 orientations d'une 

 même l'ace soient magiques, il suffit que les deux lignes d'invariation 

 soient perpendiculaires ; ce qui s'exprime par la condition 



ax/) = — 1 (mod p) 



le carré type étant la figuration de la série numérale (1 .1, a.b). 



Pour que ï orientations, dont 2 sur chaque face, soient magiques, 

 il faut et il sufiit que les deux directions d'invariation soient égale- 

 ment inclinées sur les côtés ou les diagonales du carré; ce qui se tra- 

 duit par la condition 



a-i-b = ou ax/j = -{-{. (mod ^j) 



Les conditions a x /> = — 1 et ax/> = -l-l sont contradic- 

 toires, et dans les carrés panmagiques on ne peut avoir à la fois 

 ax^ = — 1 et a-h à = 0. 



parce qu'il en résulterait a = -t- 1 et b ^ — l, et les lignes 

 d'invariation seraient parallèles aux diagonales du carré. 



Enfin, pour (jue les 8 orientations de la grille soient magiques il 

 faut et il suffit qu'on ait 



axb = -^ l et a H- i = (mod p) 



ou, ce (jui revient au même, 



a- = — 1 et b'^ = — 1 (mod p) 



