28 JOSEPH DKSCHAMPS 



sente l'ensemble des nombres terminés par le même chiffre, 1 par 

 exemple, depuis 1 jusqu'à 100.000, tandis qu'un cadre ne contenant 

 que 10 divisions horizontales et 100 divisions verticales ne représente 

 les mêmes nombres que jusqu'à 10.000. 



Pour ne pas donner à nos figures explicatives une trop grande 

 étendue, nous nous placerons dans le cas de dix divisions horizon- 

 tales, ce qui ne change rien à la nature des résultats. 



Cela étant, supposons que le produit d'un certain facteur fixe a 

 composé de d dizaines et de u unités par un autre facteur 6, sus- 

 ceptible de varier, mais contenant primitivement d' dizaines et u' 

 unités soit un nombre iN terminé par un certain chiffre, tel que 1, et 

 contenant D dizaines et C centaines. Nous nous proposons, comme 

 dans le problème antérieurement traité, de chercher le plus petit 

 nombre de dizaines d" qu'il faut ajouter aux dizaines d' du second 

 facteur b pour que les dizaines du nouveau produit surpassent d'une 

 unité les dizaines du produit précédent N ; nous nous proposons 

 également de chercher la variation du nombre des centaines de ce 

 même produit. 



Nous n'avons pas à reproduire la solution qui a déjà été donnée ; 

 nous n'avons qu'à rappeler et à compléter les résultats obtenus. 



La première remarque à faire est celle-ci : le nombre de dizaines 

 cherché d' et l'augmentation du nombre G de centaines du pro- 

 duit N sont indépendants de la compo>ition du facteur variable b et 

 dépendent uniquement de celle du facteur fixe a. Il en résulte immé- 

 diatement cet autre fait que, si l'on résout plusieurs fois de suite le 

 môme problème en cherchant les multiples successifs du facteur a 

 qui correspondent à une augmentation constante d'une unité dans le 

 nombre des dizaines de ces multiples correspondant eux-mêmes à 

 une variation minima constante d!' du nombre de dizaines du facteur 

 variable b, le nombre total d'accroissement des centaines des pro- 

 duits N est proportionnel au nombre d'accroissements des dizaines 

 de ces mêmes produits. D'où cette conclusion importante : Les points 

 qui correspondent à ces produits successifs N sont tous sur une même 

 ligne droite, et par conséquent la connaissance de deux de ces points 

 suffît pour construire cette droite et connaître par suite, sans effectuer 

 de calculs, tous les produits correspondant à ces points en ligne droite. 

 Les droites qui fournissent ces divers produits sont nécessairement 

 limitées, et, dans le mode particulier que nous adoptons dans cette 

 exposition, chacunes d'elles correspond à un total de dix multi- 

 ples du même facteur a et pas davantage. Or il est possible, étant 

 donnée une de ces droites, d'en déduire toutes les autres. 



