Les Constellations Arithmétiques 



Par Gaston TARRY 



Ce sont des grilles d'une certaine espèce, et faites quelque peu 

 pour surprendre l'observateur, s'il n'a pas réfléchi à ce genre de 

 questions. 



Sur un carré de module m, comprenant m" cases, et répété 

 au besoin à droite et à gauche, au-dessus et au-dessous, autant 

 qu'il sera nécessaire, on applique un carton dans lequel sont 

 découpées m fenêtres ayant les dimensions des cases. Elles lais- 

 sent alors apercevoir m cases du carié. Si l'on fait la somme des 

 m nombres qui apparaissent, cette somme est la constante 

 magique. Si, au lieu de nombres, on a placé m^ objets définis 

 par des couples de la forme Aa, on voit les m objets A et les 

 m objets a tous différents les uns des autres. 



Si l'on transporte la grille parallèlement à elle-même, oij l'on 

 voudra, la même circonstance se constate, en lisant les cases 

 visibles sur le carré lui-même ou sur les voisins qui la reprodui- 

 sent. Et comme l'apparence de la constellation formée par les 

 cases générales {les étoiles) est souvent désordonnée, sans 

 aucune symétrie, ni régularité, on se demande comment ce résultat 

 est possible. 



Cette conception généralise extraordinairetnent la notion de 

 magie. 



Le nombre des constellations magiques, en y comprenant bien 

 entendu les r>i-\ droites magiques, est de (m-i !) Les lignes ma- 

 giques n'en sont plus qu'une partie négligeable. Dans l'espace à n 

 dimensions, le nombre des constellations serait : 



[(m-1) !]"- 



Pour m = i3, le nombre des constellations est 479.001.600, en 

 y comprenant les 12 droites magiques. 



La constellation donnée en exemple est applicable dans ses 

 8 orientations (4 par face). 



Quand le module premier m n'est pas de la forme 4 « f I, la 

 constellation ne peut être applicable que dans 4 orientations, au 



