42 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



care nu p6te fi diferită de (i), trebue decî să avem 



_ + a {L—[k) == o, -^ — b (X— [a) = o 

 dv du 



Dacă aceste relaţiunî sunt verificate, formulele (2) ne definesc o 

 suprafaţă S\ aşa că tangentele la curbele u şi î; pe S şi S' în duo6 

 puncte corespun^Store sunt paralele. 



Dacă am pleca de la S' ca să regăsim suprafaţa S, am vedea 

 din condiţiunile de integrabilitate pentru x, y şi z, că x', y', z satis- 

 fac uneî ecuaţiunT de aceeaşY formă ca (i). Prin urmare curbele 

 (u, v) formeză şi pe S' o reţea conjugată. 



3) Imt propun acum să arăt că, ţinând sema de ipoteza făcută 

 anume că x'^-j-y^ e o soluţiune a ecuaţiuneY (i), printre suprafeţele 

 S' care se pot deduce din S cu ajutorul formulelor (2) există un 

 paraboloid de revoluţiune. 



Am observat că x', y', z satisfac uneî ecuaţiunî de forma 



, , d^O' .dO' , , dO' 



(3) = 3- — + b' — 



dudv du dv 



Pe de altă parte din (2) se deduce 



dx' dx' . dy dy 



du dv du dv 



prin urmare şi x'^-j-y'^ e o soluţiune a ecuaţiuniî (3). 



Să observăm că în general uneT soluţiunî O a ecuaţiuniî ( i ) îî co- 

 respunde o soluţiune O' a ecuaţiuneî (3) cu ajutorul formulelor 



( ^^=zl ^=. dO 

 du ' dv dv 



Fie 2w' soluţiunea ecuaţiuniî (3) care corespunde soluţiunîY 

 x^-f-y^, şi ■'(O soluţiunea ecuaţiuneî (i) care ne dă pe x'^-j-y"^. 

 Avem rei mnile următ6re: 



, s dw dx' , dy' dco dx' , dy 



(5) — — = x —— -|- y ^-, =z X -j- y -^ 



du du du dv dv dv 



,,vdw' ,dx , , dy dco' ,dx , , dy 



(6) — — = x' -— -\- y -J- = X -f- y _jl 



du au du dv dv dv 



de unde se scote, fără a restrânge generalitatea 

 (7) xx' -f yy' = co -]- to' 



