BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 13 



Ultima relaţiune înlociiesce relaţiunile (5) sati (6). In tote aceste 

 relaţiunY nu intervin soluţiunile z şi z'. Pe de alta parte ele aii loc 

 ort-care ar fi transtormarea definită de formulele (2). 



Din causa relaţiunilor (5) sati (6) şi (7) s'ar putea bănui că so- 

 luţiunile X, y fiind cunoscute şi bucurându-se de proprietatea de 

 care ne am servit continuu că şi x^ -\- y- satisface ecuaţiuniY (i), 

 putem găsi o transformare de forma (4), aşa ca x, y să devină x', 

 y , iar 2(0 : x ^ -]- y ^. 



Dacă o ast-fel de transformare există şi dacă însemnăm cu 2co' 

 soluţiunea care corespunde soluţiuneY x^ -|- y^, atuncî vom avea 

 între x, y, w, x', y şi to' relaţiile (6) şi (7). Din aceste 6 funcţiunt 

 cunoştem numaY pe x, y şi co şi ştim că ele împreună cu x^ -f- y^ 

 verifică ecuaţiunea (i). 



Ecuaţiunile lineare (6) ne definesc funcţiunile x' şi y', iar (7) pe 

 to'. Derivând prima relaţiune (6) în raport cu z; şi pe a doua în ra- 

 port cu w, se deduc relaţiunile 



dx' dx , dy' dy dx' dx , dy dy 



dv du dv du ' du dv du dv 



care comparate cu 



ne daQ 



dx dx 1 dy dy 



dv dv du dv 



dx' . dx dy' . dy 



du du ' du du 



dx' dx dy' dy 



d7~~ ^ d7' d7~~^ d7 



Aşa dar există o transformare care face să corespundă x' şi y 

 funcţiunilor x şi y. Din (5) se vede că 2(o' corespunde soluţiuniî 

 x^ + y2, iar din (6) se deduce că 2co devine x- -\- y'^. Prin ur- 

 mare cu ajutorul transformare! precedente soluţiunea arbitrară 2a) 

 devine x'^ -|- y'^. 



Resultatul acesta analitic e echivalent cu cel geometric pe care 

 '1 căutăm. Intr'adev6r, să alegem drept soluţiune arbitrară 2to pe z, 

 care împreună cu x şi y ne definesce suprafaţa S, pe care avem o 

 reţea conjugată proiectată pe plan xy dupe o reţea ortogonală. In 

 virtutea teoremiî precedente există funcţiunt i şi (^ aşa în cât solu- 



