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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 
BIBLIOGRAPHIE 
ANALYSES 
4° Sciences mathématiques 
Riquier (Charles), Professeur à la Faculté des Sciences 
de Caen, Lauréat de l'Institut. — Les Systèmes 
d'équations aux dérivées partielles. — 1 vol. 1n-8° 
de590 pages. Gauthier-Villars, éditeur. Paris, 1910. 
L'important ouvrage dont nous allons essayer de 
donner ici une analyse succincte à pour objet principal 
d'étudier les conditions d'existence des intégrales géné- 
rales régulières d’un système quelconque d'équations 
aux dérivées partielles. Ce problème, beaucoup plus 
compliqué pour les systèmes partiels que pour les 
équations différentielles ordinaires, à donné lieu, 
depuis le Mémoire classique de Cauchy (1843), à de 
nombreux travaux. Dans la très intéressante préface 
de son livre, M. Riquier en retrace le tableau et montre 
en même temps la genèse de ses propres recherches 
sur la question, ainsi que les résultats nouveaux qu'il 
a obtenus. 
L'auteur se place toujours au point de vue fonction- 
nel de M. Méray : étant donné un système partiel 
(limité), renfermant un nombre quelconque de fonc- 
tions inconnues, u, Y..…., à un nombre quelconque de 
variables x, y, Z...., il s'agit de reconnaitre l'existence 
d'intégrales générales régulières de ce système, déve- 
loppables à partir des valeurs initiales Xo, Vos Zo..…., es 
variables, en des séries entières par rapport à x-x, 
V-Vos Z-Zo...., CL de déterminer les éléments arbitraires 
qu'elles renferment. Quatre chapitres introductifs sur 
la théorie générale des fonctions olotropes assurent 
aux lecteurs les connaissances nécessaires à l'étude de 
j'ouvrage tout entier. Après quoi, l’auteur s'occupe 
tout d'abord de construire, à l’aide du système donné, 
les développements des intégrales hypothétiques. 
Supposant, à cet effet, le système résolu par rapport 
à certaines dérivées, qui, dès lors, figurent seules dans 
les premiers membres, M. Riquier attribue à ces déri- 
vées, ainsi qu'à toutes celles qui s’en déduisent par 
différentiation, la qualification de principales, landis 
que les autres sont dites paramétriques, et il appelle 
détermination initiale de l'une des intégrales hypo- 
thétiques la portion de son développement dont les 
coefficients sont, aux facteurs numériques connus près, 
les valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées 
paramétriques de tous ordres. [l prouve alors, par des 
considérations élémentaires (chap. V), que, pour se 
donner arbitrairement les déterminations initiales des 
intégrales (hypothétiques), il suffit d'imposer à ces 
intégrales et à telles ou telles de leurs dérivées, en 
nombre essentiellement limité, la condition de se 
réduire respectivement, pour les valeurs initiales de 
tels ou tels groupes de variables, à des fonctions arbi- 
traires des groupes de variables restants. Aïnsi se 
trouve fixée, très simplement, l'économie des conditions 
initiales. 
Ce résultat fondamental étant acquis, il faut étudier 
la concordance numérique qui doit exister, relative- 
ment à des conditions initiales données, entre les équa- 
tions du système indéfiniment prolongé par différen- 
tiation, lorsqu'on y considère les valeurs initiales des 
variables, des fonctions et de leurs dérivées comme 
autant d'inconnues distinctes. Cette concordance est 
évidemment nécessaire à l'existence des intégrales 
répondant aux conditions initiales données; récipro- 
quement, si elle a lieu, on peut construire les dévelop- 
pements des intégrales, et si, en outre, ces développe- 
ments sont convergents dans un certain domaine, les 
intégrales dont il s’agit existent effectivement. Dans le 
ET INDEX 
cas, seul intéressant à étudier, où la concordance 
numérique a lieu pour un choix arbitraire des condi- 
tions initiales, le système est dit passif, et si, pour le 
choix arbitraire dont ils’agit, les développements que 
l'on peut construire sont convergents, le système est 
dit complètement intégrable. I est clair, d’après ce 
qui a été dit plus haut sur l'économie des conditions 
initiales, que la solution générale d’un système com- 
plètement intégrable dépend d’un nombre fini de fonc- 
tions et de constantes arbitraires. 
M. Riquier recherche, dès lors, des formes générales 
de systèmes partiels où la passivité soit exprimable à 
l'aide d’un calcul limité, et où la convergence des 
développements des intégrales soit assurée ; il signale, 
tout d’abord, la forme dite orthonome, dont l'étude fait 
l'objet principal du chapitre VIT. La forme orthonome 
est caractérisée par une certaine disposition des déri- 
vées dans les deux membres des équations, disposition 
qui résulte d’un mode de classement de ces dérivées, 
imaginé par M. Riquier, au moyen de nombres entiers 
attachés à chacune d'elles etquisontappelés leurs cotes. 
M. Riquier commence par établir que les conditions de 
passivité d'un système orthonome sont en nombre 
limité; puis il montre, par la méthode des fonctions 
majorantes, que les développements des intégrales 
convergent toujours, en sorte que {out système ortho- 
nome passif est complètement intégrable : c'est là un 
résultat capital, car la forme orthonome passive, créée 
par M. Riquier, contient comme cas très particuliers 
tousles types complètement intégrables étudiés jusqu'à 
ce jour. 
L'auteur cherche ensuite (chap. IX et X) à perfection- 
ner et à étendre les résultats obtenus; d'une part, il 
simplifie la recherche des conditions de passivité dans 
la forme orthonome ; d'autre part, il obtient des formes 
plus générales, où, sous laseule restriction que certaines 
inégalités numériques soient vérifiées, cette même 
recherche s'effectue au moyen d’un calcul tout sem- 
blable, sans que, d’ailleurs, la convergence des déve- 
loppements cesse d’être assurée. Dans la préface, 
M. Riquier cite deux exemples typiques des progrès 
ainsi réalisés, notamment celui d’une équation du 
second ordre, oùil obtient comme condition suffisante 
d'existence une simple inégalité numérique, alors que 
les recherches antérieures assignaient comme condi- 
tion de ce genre la nullité identique d'au moins une 
fonction de plusieurs variables. 
Dans le chapitre suivant, M. Riquier traite complète- 
ment deux applications importantes : 4° Déformations 
finies d'un milieu continu dans l’espace à n dimen- 
sions ; 2° Détermination des systèmes de coordonnées 
curvilignes orthogonales à » variables. Les deux ques- 
tions rentrent dans l'étude d'un système d'équations à 
n inconnues u, V,..…, W de n variables x,, x,,...., x, de 
la forme 
Su à 9v 9 wa 
ou cu ov cv cW oW 
— +. + — — Ji ks (JS MISE 
9x; 9Xk  Ox; OXE OX; OXk à J 
fonctions don- 
ET c \ 4) 
M. Riquier établit entre les het) 
nées y; les conditions nécessaires et suffisantes pour 
l'existence des intégrales, et montre qu'en les suppo- 
sant satisfaites, la solution générale du système dépend 
FA n(n +1) 
2 
système partiel formé par les conditions imposées aux 
fonctions y, le met sous une forme orthonome com- 
plètement intégrable, et fait voir qu'il laisse arbitraires 
constantes arbitraires; puis il étudie le 
