BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 
BIBLIOGRAPHIE 
ANALYSES 
1° Sciences mathématiques 
Hadamard (J.), Professeur au Collège de France. — 
Leçons sur le Calcul des Variations, recueillies 
par M. Frécuer. Tome I. — 1 vol. in-8° de 520 pages. 
(Prix : 18 francs.) Hermann et fils, éditeurs. Paris, 
1910. 
M. Hadamard s’est proposé, dans ces Leçons, l’ex- 
position complète et rigoureuse du Calcul des Varia- 
tions, en considérant ce calcul comme un premier 
chapitre du Calcul fonctionnel. Ce point de vue, qui a 
conduit l'auteur à certaines modifications de la termi- 
nologie actuelle, l’a aussi amené à insister spéciale- 
ment sur les difficultés particulières que soulève le 
Calcul des Variations. 
Le livre rappelle d’abord, en la complétant, la théorie 
classique des maxima et minima (ou extrema) des 
fonctions d’une ou de plusieurs variables, et précise 
les principes relatifs aux équations différentielles qui 
seront nécessaires dans la suite. Ce premier volume est 
divisé en trois livres. Le livre 1, consacré à /a posi- 
tion du problème, montre la nature de la question 
(exemple de la brachistochrone), et introduit la notion 
de variation d'une intégrale; cette notion soulève une 
importante objection, que l’on évite en précisant, 
d’après Weierstrass, la notion de voisinage de deux 
fonctions. La question étant maintenant bien posée, 
on arrive avec le livre II : La variation première et les 
conditions du premier ordre, aux premiers calculs 
nécessaires à sa solution; il s'agit d'abord de la trans- 
formation fondamentale de la variation première, par 
rapport à un paramètre, d'une intégrale dépendant de 
fonctions inconnues y de la variable x et de leurs pre- 
mières dérivées, et du lemme concernant l'annulation 
de cette variation; d'où les équations différentielles 
qui définissent les fonctions inconnues y dans le cas de 
l’extremum libre entre des limites fixes; ces équations 
sont aussitôt appliquées aux exemples classiques, puis 
transformées dans le cas où les inconnues y et la 
variable x sont exprimées paramétriquement. L'auteur 
étudie ensuite la délicate question de la détermination 
des solutions du problème, ou extrémales, passant par 
deux points donnés, qui comporte d'intéressants 
exemples; puis il ramène au problème étudié celui 
d’un extremum lié assujetti à un nombre fini de con- 
ditions (exemple des géodésiques), et il établit les 
équations du problème quand l'intégrale renferme des 
dérivées d'ordre supérieur au premier. On arrive alors 
au cas des limites d'intégration variables; le chapitre IN 
est consacré à la célèbre formule aux limites, dite de 
Gauss, et à ses nombreuses conséquences géométriques ; 
l'auteur y rattache toutes les propriétés des équations 
différentielles du Calcul des variations, en faisant res- 
sortir leurs analogies avec les équations générales de la 
Dynamique, qui en sont des cas particuliers; il termine 
le chapitre par une intéressante application à l’intégra- 
tion des équations aux dérivées partielles. Le chapitre 
suivant étend, à l’aide de la formule aux limites, les 
résultats du début aux cas généraux où le chemin d'in- 
tégration n'a plus ses extrémités fixes; on y examine 
les variations unilatérales, et les solutions discon- 
tinues. Le chapitre V traite des problèmes 1sopérimé- 
triques, c’est-à-dire du genre du suivant : trouver, 
parmi toutes les lignes de même longueur tracées sur 
une surface donnée, celle qui délimite l'aire maxima; 
ce problème est ramené au cas d'un extremum libre et 
la solution en est appliquée à diverses questions clas- 
siques. 
ET INDEX 
D'ailleurs, la question est un cas particulier du pro- 
blème, dit de Lagrange, dans lequel il s’agit d'annuler 
la variation première d’une intégrale, qui dépend de 
fonctions inconnues assujetties, ainsi que leurs pre- 
mières dérivées, à vérifier des équations données, avec 
conditions aux limites quelconques. Ce problème 
conduit lui-même à un autre, dit problème de Mayer, 
que l’auteur traite en détail et qui donne lieu aux 
mêmes extensions successives que le problème fonda- 
mental : forme paramétrique, formule aux limites, 
limites variables, variations unilatérales, solutions dis- 
continues; le chapitre se termine par une application 
au mouvement d'un mobile pesant avec résistance 
passive, et par d’autres applications analytiques aux 
équations aux dérivées partielles. Le problème de 
Mayer amène enfin au problème général du Caleul 
fonctionnel, dont l’auteur résume les principes, d’après 
les travaux récents; il les applique au calcul de la varia- 
ton infinitésimale des fonctions de Green et de Neu- 
mann, que l’on rencontre en Physique mathématique. 
Le livre IT traite des conditions de lextremum libre. 
Après avoir trouvé une extrèmale annulant la variation 
première de l'intégrale, il s’agit de rechercher si elle 
fournit effectivement un extremum; l’invariance du 
signe de la variation seconde est, à cet égard, une con- 
dition nécessaire : l’auteur étudie ce signe suivant les 
méthodes de Jacobi-Legendre, généralisées par Clebsch 
pour le cas de plusieurs inconnues; puis il expose les 
méthodes de Weierstrass et de MM. Darboux et Kneser, 
qui donnent des conditions suffisantes de l’extremum, 
par l'expression exacte de l'accroissement de l’inté- 
grale quand on passe d’une extrêmale à une extrèmale 
voisine. Le chapitre suivant examine si les conditions 
que l’on vient de reconnaître suffisantes sont néces- 
saires; il se termine par des exemples géométriques 
et mécaniques; puis on passe au cas des limites 
variables, et, ensuite, à l'examen des variations unilaté- 
rales et des solutions discontinues, et, enfin, à l’étude 
des intégrales renfermant des dérivées d'ordre supé- 
rieur au premier. On revient alors aux méthodes 
anciennes pour les compléter de manière à obtenir des 
conditions suffisantes de minimum. Enfin, le dernier 
chapitre est consacré à un important théorème de 
M. Osgood; il renferme l'exemple intéressant du mou- 
vement dans l'air du solide de moindre résistance. Le 
volume se termine par une note complémentaire sur 
les fonctions implicites. 
Le magistral ouvrage, dont nous venons d'analyser 
succinctement le premier volume, renouvelle complè- 
tement un sujet intéressant et difficile; il est aussi 
remarquable par la précision, la rigueur et l'élégance 
de la méthode que par l'originalité des aperçus et la 
richesse de l'information; on y retrouve toutes les 
qualités de l’éminent professeur et du savant géomètre 
qui en est l’auteur. M. LELIEUVRE, 
Professeur au Lycée et à l'Ecole des Sciences de Rouen. 
2° Sciences physiques 
Lorentz (H.-A.), Professeur à l'Université de Leyde. 
— The Theory of Electrons (TnÉORIE Des ELrc- 
TRONS). —— 4 vol. in-8° de 329 pages. (Prix : 10 fr.) 
B.-G. Teubner, éditeur. Leipzig, 1909. 
Il est inutile de rappeler ici ce qu'est la théorie des 
électrons. C’est actuellement la plus complète et la plus 
satisfaisante de celles que nous possédons pour expli- 
quer et relier ensemble les phénomènes électromagné- 
tiques, en comprenant ce terme dans le sens le plus 
large : électricité proprement dite, optique, chaleur. 
