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G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE D'APASTAMBA 
commentaires auxquels celui-ci donné lieu. 
Entin dans le travail de 
Bürk déjà signalé, la traduction complète des Sul 
vasutras d'Apastamba avec une série de notes expli- 
calives dues à d'anciens commentateurs hindous. 
Ce qu'il convient d'y relever d'abord, c’est l'em- 
ploi systémalique, dans diverses constructions, de 
triangles rectangles à côtés entiers, et, cette fois, 
non plus seulement du fameux triangle 3, 4, 5, ou 
«le triangles semblables (12, 16, 20 — 45, 20, 25), 
inais encore des triangles suivants : 
et surtout nous avons, 
15, 36, 39 
SAS, 
12, 35, 37, 
(et 5, 12, 13) 
æ'est-à-dire en lout, abstraction faite de ceux qu'on 
peut en déduire par variation proportionnelle des 
côtés, de quatre triangles à côtés entiers. L'un, 
d'après les conclusions de Bürk, se présente comme 
très anciennement connu, et comme revêlant un 
caractère sacré, à savoir le triangle 15, 36, 39. 
Apaslamba croyait-il nommer les seuls triangles 
rectangles à côtés entiers? Il le semblerait d'après 
la façon dont il s'exprime, quoiqu'il paraisse peu 
probable qu'il n'eût pas su au moins faire corres- 
pondre à chacun d'eux tous ceux qui s’en dédui- 
sent par similitude. Mais, en tout cas, quand il fait 
abstraction de toute condition restrictive sur la 
nature particulière des côtés, il considère comme 
générale la relation qui existe entre les carrés des 
côtés d’un triangle rectangle. L'une des premières 
propositions qu'il énonce est, en effet, celle-ci : « Le 
carré construit sur la diagonale d’un rectangle est 
la somme des carrés construits séparément sur le 
plus long côté et sur le plus petit. » Et cette propo- 
sition est presque aussitôt suivie de celle que four- 
nit le rectangle à côtés égaux : « Le carré construit 
sur la diagonale d'un carré est le double de celui- 
«Ci. » 
Après quoi, en très peu de mots, Apastamba 
ändique pour la diagonale d’un carré la curieuse 
construction que voici : « Prolonger le côté de son 
tiers, celui-ci de son quart et retrancher le trente- 
quatrième de ce quart. » Ce qui donne, en fonction 
à A 1 1 
du côté pris pour unité, la valeur 1 + 3 _ su 
Trade approximation très remarquable de 4/2. 
La règle est ensuite utilisée dans la construction 
rapide d’un carré de côté donné. 
Puis l’auteur en vient à des applications géné- 
rales du grand théorème : Former un carré égal à 
la somme de deux carrés donnés (ce qui, en parti- 
culier, conduit à construire 41/3 comme diagonale 
d'un rectangle de côtés à et 4/2), et construire un 
carré égal à la différence de deux carrés. 
REVUE GÉNÉRALE DES SCIENCES, 1910. 
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Cela fait déjà un ensembl®imposant de propo- 
sitions porlant sur le théorème de Pythagore et ses 
applications, dont, il y à dix ans, on n'aurait ordi- 
nairement pas soupconné la connaissance au v° ou 
au 1v'° siècles chez d'autres que chez les Grecs. 
Elles se complètent par deux problèmes qui nous 
font nous élever plus haut encore. C'est d'abord la 
transformation d'un rectangle en carré (la transfor- 
malion inverse est essayée, mais non réalisée), el 
ensuite la transformation d'un carré en un plus 
grand, par prolongement du côté, ou la mise en 
évidence de la formule (a + b} = 4° + ° +9 ap. 
Ce n'est là qu'une partie du traité d'Apastamba. 
Il contient, en outre, des constructions de 
angles semblables à un 
rec- 
rectangle donné, des 
règles curieuses pour transformer un cercle en carré 
et réciproquement, etc. Mais, en somme, nous 
avons indiqué les propositions les plus impor- 
tantes, celles qui nous font atteindre le point eul- 
minant de la science hindoue, el qui posent vrai- 
ment la question de la valeur de cette science. I] 
nous faut revenir maintenant sur cet ensemble de 
connaissances et nous demander comment elles 
pouvaient être établies. 
Le traité d'Apastamba, tel que nous le présente 
la traduction de M. Bürk, ne ressemble en aucune 
façon aux Eléments d'Euclide. Il ne contient, pour 
chacune des propositions ou des problèmes suc- 
cessifs, que l'énoncé du théorème, ou celui des 
règles à suivre, des constructions à effectuer. Il 
arrive que ces énoncés ne sont accompagnés d'au- 
cune figure explicative. Quand une figure vient 
éclairer le texte, qu’elle appartienne à Apastamba 
lui-même, ou à quelque commentateur ancien, ou 
simplement au traducteur à qui elle est suggérée 
par le texte, ce n’est pas pour servir de support à 
une suite d'idées plus ou moins logique, compa- 
rable au contenu d’une démonstration euclidienne, 
mais pour mettre en évidence aux yeux du lecteur 
la vérité de la proposition à établir, pour que le 
lecteur la trouve exprimée par la figure, dans le 
langage direct de l'intuition spatiale. Ainsi les 
questions relatives au nombre d'unités carrées que 
représente l'aire d'un carré ou d'un rectangle, de 
côtés donnés, — plus généralement quantité de 
propositions ou de règles où interviennent des 
comparaisons de surfaces de triangles, de trapèzes, 
de rectangles, — ne demandent une justification 
qu'au procédé très simple qui consiste à décom- 
poser les figures ou parties de figures en petits 
carrés ou en petits rectangles, par deux séries 
de lignes parallèles, comme si l'on songeait chaque 
fois aux nombres de briques dont pourraient se 
recouvrir les surfaces à comparer. Il est naturel de 
penser avec Cantor, Zeuthen, Bürk, — et comme le 
soupconnaient déjà quelques anciens historiensdes 
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