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G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE D'APASTAMBA 
Mathématiques tels que Hankel et Allman, — que 
ce mode de démonstration intuitive est le seul 
auquel les Hindous aient eu recours. Peut-on, du 
moins, d'après cela, essayer d'expliquer leurs 
connaissances relatives au théorème de Pythagore? 
Très vraisemblablement, ils ont commencé par 
constater la propriété fondamentale sur quelques 
cas particuliers, et le 
ALES premier, comme le plus 
ASS simple, fut sans doute 
N celui qu'Apastamba in- 
s _ diquedansla cinquième 
proposition du chapi- 
FX tre 1, c'est-à-dire le cas 
S du triangle rectangle 
*S isocèle. L'énoncé (d’a- 
près lequel le 
construit sur la diago- 
nale d’un carré est le 
double de ce carré) est accompagné, dans la tra- 
duction de Bürk, d’une figure 1 due au traducteur, 
mais qui à bien des chances de rappeler celle 
de l’auteur lui-même, et qui rendait inutile tout 
raisonnement et tout commentaire. Il suffirait, 
d’ailleurs, de modifier légèrement cette figure, en 
doublant le côté du carré primitif, et en inscrivant 
dans le grand carré le carré de la diagonale, pour 
obtenir la démonstration intuitive que Platon fera 
mettre, par Socrate, sous les yeux de l’esclave, 
dans son dialogue du Menon (fig. 2). La vieille 
tradition se sera conservée jusque-là : en réalité, 
les Éléments d'Euclide eux-mêmes en auront gardé 
des traces nombreuses. 
in dehors de ce cas si simple, c’est très proba- 
blement le triangle 3-4-5 qui fut connu le premier. 
Les témoignages fort 
anciens recueillis en 
Chine et en Egypte, 
joints à la grande sim- 
plicité des nombres 
qui mesurent les cô- 
tés, en sont un gage 
suffisant. Faut-il 
croire que l’expé- 
rience seule intervint 
ici? Oui, sans doute, 
tout d’abord, et dans 
des temps extrême- 
ment reculés, des arpenteurs ou des ingénieurs, 
habitués, comme le montre Apastamba lui-même, 
à manier le cordeau et à fixer des piquets, purent 
s'apercevoir que le triangle 3-4-5 a deux côtés 
perpendiculaires l’un à l’autre. Mais les Sulvasu- 
ras donnent l'impression d'une culture un peu 
plus relevée; l’auteur, certainement, veut voir s'éta- 
carré 
Fig. 4. 
Fig. 2. 
ler à ses veux la proposition générale et abstraite 
ce 
d'après laquelle le carré construit sur 5 contient 
exactement les deux autres carrés construits sur 
et sur 4. Plusieurs hypothèses sont ici possibles; la 
plus vraisemblable me semble être celle que défend 
Zeuthen, et qui s'exprime dans la figure 3 : ABCD 
est le carré construit sur 7 unités de longueur; il 
comprend manifestement le carré construit sur 4, 
le carré construit sur 3, et deux rectangles de 
côtés 3 et 4. Mais, en regardant d'une autre ma- 
nière, on voit que le carré EFGII, formé par les 
diagonales de quatre rectangles 3, 4, laisse en 
dehors de lui-même leurs quatre moitiés, c’est-à- 
dire l'équivalent de deux rectangles; il représente 
donc la somme des carrés construils sur 3 et sur 4, 
et contient 9 16—95 petits carrés. 
Qu'on ne se hâle pas de juger ces vues trop 
savantes. Cantor, et après lui Zeuthen, ont appelé 
l'attention sur des figures qui, d'après Biot (Journal 
Asiatique, 181), se trouveraient dans le très vieux 
traité chinois où est mentionnée la propriété du 
triangle 3-4-5. « Dans les trois figures, dit Biot, 
dans une note de la page 601, on voit un grand 
carré divisé en 49 parties, dans lequel est inscrit 
un autre carré divisé en 23 parties. Ce second 
carré est divisé, dans la première figure, en 
4 triangles rectangles, plus un carré intérieur; 
dans la seconde, il contient un carré de 9 parties: 
dans la troisième, il contient un carré de 16 parties. » 
Cette description est loin d'être claire. Mais il est 
impossible de ne pas rapprocher de la démonstra- 
tion précédente celle que le vieil auteur chinois 
voulait mettre en évidence avec ses trois figures. 
Et nous l’attribuerons plus volontiers encore aux 
Hindous, sinous songeons que ce mode de démons- 
tration, mème pour le théorème général, est resté : 
dans leurs traditions bien des siècles après que les 
Grecs avaient substitué leur mathématique ration- 
nelle à la géométrie intuitive des Orientaux. 
Cantor, en effet, mentionne chez Bhaskara (du 
