G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE D'APASTAMBA 
x siècle après d.-C.) la curieuse démonstration du 
théorème de Pythagore qu'offre la figure 4°. ABCD 
est le carré construit sur l'hypoténuse du triangle 
rectangle, lequel se trouve 4 fois reproduit. Bhas- 
kara se contente de demander au lecteur de regarder. 
A 8 Avec un peu d'atten- 
lion, celui-ci voit 
% demi-rectangles,ou 
2 rectangles formés 
avec les côtés de l’an- 
gle droit, plus le 
carré construit sur la 
différence de ces cô- 
tés, ce que Bhaskara 
sait être égal à la 
Fig, 4. somme des carrés des 
deux côtés. 
Quoi qu'il en soit, les anciens Orientaux pas- 
saient-ils par une audacieuse induction de deux cas 
particulièrement simples à tous les triangles rec- 
langles? Apastamba eût été peut-être capable de 
montrer encore directement par quelque figure 
ingénieuse la propriété fondamentale de tel ou tel 
triangle rectangle. Mais peut-être aussi la possibi- 
lité de voir clair dans les deux cas privilégiés suffi- 
sait-elle, si l’on songe que l'expérience avait pu dès 
longtemps faire soupconner le théorème général 
par de simples mesures effectuées sur le terrain. Et 
dès lors les anciens Hindous, liant invariablement 
dans leur esprit la propriété géométrique et la 
relation numérique, avaient dù s’en remettre, pour 
la recherche des triangles à côtés entiers, à de 
faciles calculs d’arithmétique. Rien ne nous dit 
que ce ne soit pas ainsi, c'est-à-dire par le calcul 
des carrés des nombres entiers successifs, et par des 
essais d’addition conduisant encore à des carrés, 
qu'on était parvenu depuislongtemps aux quelques 
triangles mention- 
TZ 7 nés et utilisés dans 
779 les Sulvasutras. 
7 Peut-être aussi, 
cependant, est-il 
permis de penser 
ici à un autre genre 
de démonstration. 
Apastamba utilise 
plusieurs fois ce que 
les Grecs appelle- 
ront un ÿn0mOn, 
c'est-à-dire, quand 
il s'agit d'un carré, celte sorte d'équerre de macon 
qui entoure le carré primitif (fig. 5), lorsqu'on pro- 
longe son côté, comme le fait l’auteur hindou lui- 
même, pour se rendre compte de la manière dont 
1 Vorlesungen, t. I, p. 656. 
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s'accroit le carré. Il paraît très vraisemblable 
comme l'ont indiqué, les premiers, Bretschneider e 
Treutlein", que c'est la génération des carrés par la 
superposilion des impairs successifs comme gno 
mons qui conduira Pythagore et Plalon aux for 
mules générales donnant des triangles rectangles 
à côtés entiers. Nous savons, en effet, par Proclus 
quelles sont ces solutions. Celle de Pythagore peut 
s'écrire : 
n élant impair; celle de Platon : 
2n, n°—1, n°+1i. 
On tombe aisément sur la première solution, si, 
considérant un carré qu'entoure un gnomon impair, 
on exige que cet impair soit un carré, # ; le côté 
ARE : n° —1 
du carré primitif était alors —> 
1° 4-1 
> 
y 
» el le côté du 
carré résullant est . Le carré construit sur 
n° +1 
9 
= 
apparait manifestement comme la somme 
de »°et de =)" Quant à la solution attribuée à 
Platon, on l’obtiendra en composant le gnomon de 
deux nombres impairs consécutifs, dont la somme 
soit un carré. 
Il ne saurait assurément être question d'attribuer 
à l’auteur des Sulvasutras rien qui ressemble à 
ces formules toutes générales. Mais pourquoi ici, 
comme parfois ailleurs, les Grecs n'auraient-ils pas 
seulement généralisé, par des méthodes plus abs- 
traites, ce que les Orientaux auraient très bien pu 
constater dans quelques cas particuliers? Soit un 
carré de côté 4 (fig. 6). Apastamba sait que, s’il 
prolonge le côté de 1, le carré s'augmente du gno- 
mon 4 X 2 + 1, c'est-à-dire 9 ou 3°. Il sait aussi, ou 
plutôt il voit alors sur sa 
figure, que le carré agrandi 
n'est autre que le carré de 5. 
Ce qui est une vue intui- 
tive directe de la relation 
arithmétique : 5° = 3 +4. 
Après 9,le premier im- 
pair carré est 25. C'est au- 
tour du carré de côté 12 
(car) 25 —12X 2 +1) que 
nous devons le disposer en 
gnomon, si nous voulons une relalion analogue 
à la précédente. Comme le côté du carré agrandi 
est alors 13, la figure nous donne immédiatement 
l'égalité 143 = 1% + 5°. C'est le triangle 5, 12, 43, 
a 
Fig. 
‘ Voir dans Heath, L. 1, p. 356-360, l'historique complet 
de la question. 
