516 Cr. 
MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE D'APASTAMBA 
ou, — si nous multiplions tous les côtés par 3, — 
15, 36, 39, c'est-à-dire justement, qu'on le remar- 
que, le triangle que Bürk nous désigne comme 
connu bien antérieurement à la rédaction d'Apas- 
tamba. Et cette rencontre me semble significative. 
Les deux autres exemples cités dans les Sulvasu- 
tras (8, 15, 17 et 192, 35, 37) auraient-ils été trouvés 
sur des figures formées par les carrés de 15 et de 
35, entourés chacun d'un gnomon double (31 + 
33 — 64, pour l’un, et pour l’autre 71 + 73 — 144) 
selon une construction qui sera généralisée plus 
lard ? Ou faut-il s'en remettre à deux essais heureux 
de caleul numérique ? Ce qui est hors de doute en 
tout cas, c'est que le traité hindou ne porte la trace 
d'aucune méthode régulière ni d'aucune formule 
générale quelconque pour la découverte de pareils 
triangles à côtés entiers. C'est certainement 
lâtonnant, soit dans les calculs, soit dans la cons- 
truction des figures, que les Orientaux avaient 
trouvé les quelques triangles qu'ils utilisaient pré- 
en 
cieusement. 
III 
Que faut-il penser, d'autre part, de la valeur don- 
née pour la diagonale ou, si l'on veut, pour V2? On 
« essayé assez souvent de reconstituer un procédé 
de calcul qui pût conduire à cette expression, et 
lon a abouti chaque fois à une suite d'opérations 
analogues à celles que les Grecs, du temps de Héron 
tout au moins, savaient effectuer, ou même ressem- 
blant à celles que nous effectuons aujourd'hui pour 
Vextraction de la racine carrée. Mais, quand ce n'était 
pas trop rajeunir la rédaction des Sulvasutras et 
s’en remettre à l'influence grecque, n'était-ce pas 
attribuer gratuitement aux anciens Hindous une 
technique numérique trop subtile et trop savante?” 
Avec Heath, je préfère l'explication que Thibaut 
donnait déjà il y a trente-cinq ans, et qui est la 
suivante : Quand le côté d'un carré est 4, le carré de 
la diagonale est 2; quand le côté est 2, le carré de 
Ja diagonale est 8, etc. On essayait de continuer 
ainsi jusqu'à ce qu'on trouvät pour ce dernier 
nombre un carré : cela arrive à très peu près 
lorsqu'on essaie le côté 12, car le carré de la dia- 
gonale est alors 144 X 2— 288, et 289 est le carré 
de 17. Or, d'après la manière mème dont Apastamba 
parle de l'agrandissement d’un carré, on passe du 
earré 289 au carré 288 en diminuant le premier d'un 
! Léon Rodet, par exemple, qui ne s'était pas mépris sur 
la date des Sulyasutras, reconstitue ainsi le procédé. Après 
chaque élément trouvé pour la racine, on divise le reste par 
le double de la partie déjà obtenue ou par le double plus 1. 
Dans le premier cas, on a une valeur approchée par défaut, 
dans le second, par excès. (Bulletin de la Société mathéma- 
tique de France, tome V : Sur une méthode d'approximation 
des racines carrées connue dans l'Inde, antérieurement à la 
conquéle d'Alexandre.) 
gnomon de valeur1, lequel, si l'on néglige un tout 
- : dues 1 : 
pelit carré, a pour épaisseur DA En d’autres termes, 
le côté du carré 288, ou la diagonale du carré de 
1 
ou Il suffit, pour passer de ce ré- 
sultat à la valeur de la diagonale du carré de 
côté 1, de le diviser par 12, et comme on peut 
côté 12, est 17 
de 1 
l'écrire 1244 +41— 37 la valeur cherchée est 
1 Il l 
1 + 3 +- 3x 343%" La substitution à des nom- 
bres donnés de nombres plus commodes, puis, à la 
fin, la variation proportionnelle desrésultats, c'est-à- 
dire, en somme, la méthode « de fausse position », 
qui subsistera si longtemps dans tous les traités 
arithmétiques du Moyen-Age, se trouvait déjà, 
comme l’a remarqué Rodet, employée couramment 
dans le papyrus d'Ahmès. Elle implique un certain 
sentiment de la similitude qui doit être aussi ancien 
que les premiers lätonnements de la pensée hu- 
maine, et n'a rien pour nous surprendre. 
Du moins, l’auteur des Sulvasuiras se rend-il 
compte de la non-exactitude rigoureuse de son 
expression? Ce qu'on peut assurer, c'est qu'il n'en 
est pas gêné. C'est au point qu'à la place de cons- 
tructions géométriques qui supprimeraient à cet 
égard toute difficulté, il conseille de s'en servir 
pour la construction de triangles rectangles. A plus 
forte raison ne parait-il pas troublé par la grave 
question que soulève le problème auquel il s’est 
attaqué : Existe-t-il des procédés qui, au besoin 
avec de la patience, feraient parvenir à une expres- 
sion rigoureusement exacte de la diagonale? La 
question n'est même pas posée. 
IN 
Enfin, pour en venir au problème le plus savant, 
à coup sûr, parmi 
tous ceux auxquels D (Ce 
touchent les Sulva- 
sutras, la transfor- H 
. ; Lr----- ne de 
mation d'un rec- : 
tangle en carré est | 
ce : E 
traitée comme il Kr---- 
suit. (Je traduis à  , 
très peu près Bürk,  ; ; 
qui lui-mêmeparla ; TE 
figure, les lettres et  ! 
quelques additions 
indispensables de 
mots ne fait qué- 
clairer le texte.) 
« Soit à transfor- e 
mer le rectangle ABCD en un carré 
