G. MILHAUD — ‘LA GÉOMÉTRIE D'APASTAMBA 
porté le petit côté sur le plus long, en AF, retran- 
chons du rectangle le carré ABEF, et partageons 
en deux parties égales par la ligne GI le rectangle 
qui reste, FECD. Ajoutons ces parties au carré ABEF 
le long des côtés EF et AF, puis remplissons l’es- 
pace vide versle sommet F par l'addition d'un mor- 
ceau (le carré KFHL). La soustraction de ce mor- 
ceau est chose que l’on sait faire". » 
L'auteur hindou à déjà montré, en effet, qu'on 
peut aisément construire un carré qui soit la difré- 
rence entre deux carrés donnés par simple appli- 
cation du théorème général sur le carré de la 
diagonale d’un rectangle. Dèslors, ses derniers mots 
signifient : Construisons, comme nous savons le 
faire, un carré qui soit la différence entre le grand 
carré LGBJ et le petit carré LHFK. En d'autres 
termes, on peut dire que pour transformer le 
rectangle en carré, il en dispose la surface sous la 
forme d’un gnomon (x 8 y). 
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A ces indications, qui sont loin, nous l'avons dit, 
d'épuiser la matière du traité hindou, mais qui peu- 
vent donner une idée suffisante de la science qu'il 
suppose, nous voudrionsajouter quelquesréflexions, 
d'une part pour marquer la distance où il est de la 
Géométrie grecque, et d'autre part pour noter toute 
l'importance de son contenu. 
Lorsque, au vi° siècle, commencent vraiment les 
travaux originaux des Grecsen Mathématiques, c'est 
une mélhode nouvelle qui se trouve inaugurée, 
celle même que nous pouvons connaitre par la 
lecture d'Euclide. Car noussavons bien aujourd’hui 
que les Éléments représentent en réalité l'effort de 
trois siècles de recherches, et qu'ils ont été consti- 
tués, tant pour la forme que pour la matière, par une 
série continue de géomètres qui remonte jusqu'à 
Pythagore. Les fragments les plus anciens, quelques 
démonstrations attribuées aux Pythagoriciens, un 
fragment d'Hippocrate de Chios, un autre d’Archytas, 
pour ne citer que les principaux, ne permettent pas 
de douter que, du premier coup, la méthode des 
démonstrations n'ait été arrêtée dans sa forme 
essentielle. Or, ce qui la caractérise, c’est la ten- 
dance à imprégner de logique la pensée mathéma- 
tique, à substituer le plus possible les concepts 
définis aux images concrètes et sensibles, à tâcher 
de constituer des raisonnements indépendants de 
l'intuition. Les résultats furent de deux sortes (et 
c'est là, me semble-t-il, le sens des remarques de 
Zeuthen ?). D'unepart, impossibilité de rien énoncer 
qui ne fût rigoureusement exact. (Nous serons loin 
! Articles cités, année 1902, p. 333. 
: ? Congrès de Genève, p. 835. 
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avec les Grecs des constructions approchées d'Apas- 
tamba, telles, par exemple, que celle qui résouL à 
ses yeux le problème de la quadralure du cercle). 
D'autre part, possibilité d'élargir d'un coup et déme- 
surément le champ de la connaissance malhé 
malique par la généralité à laquelle il est permis 
d'atteindre, par la brusque extension, au delà des 
limites de l'intuition sensible, des vérités que 
concoit et élablit la raison. J'aicité, chemin faisant, 
les formules fameuses de Pythagore et de Platon 
donnant d'un coup des séries infinies de triangles 
rectangles à côtés entiers, à la place des quatre 
exemples soigneusement conservés el utilisés par 
les Orientaux. Je voudrais insister encore, pour 
m'en tenir à l'origine même de la mathématique 
grecque, sur les deux 
l'unanimité des témoignages attribue à Pythagore : 
celui qui, dans l'histoire de la science, porte préci- 
sément son nom, et celui qui pose l’incommensu- 
rabilité de la diagonale et du côté du carré. 
Pour le premier, qu'Apastamba énonce vraisem- 
blablement sous la suggestion de l'expérience, ou 
peut-être par une induction hardie fondée sur quel- 
ques cas simples, nous ne pouvons dire avec certi- 
tude quelle fut la démonstration de caractère 
général que toutel’Antiquité a attribuée à Pythagore- 
Nous avons le choix entre un genre de preuve 
mettant plus ou moins en évidence sur une figure, 
par comparaison de surfaces, l'équivalence d'un 
carré à la somme des deux autres, et, d'autre part, 
une preuve fondée surla considérationdes triangles 
semblables et sur les propriétés des proportions. 
Celle que donne Euclide à la fin du premier livre 
des Eléments rentre dans le premier genre ; mais 
précisément nous savons par Proclus qu'elle est due 
à l’auteur des Eléments lui-même. 
Pourquoi donc, puisqu'il existait depuis Pytha- 
gore une démonstration connue et probablement 
devenue classique, pourquoi donc Euclide voulut-il 
y substituer la sienne? Paul Tannery, le premier, 
je crois, a appelé l'attention sur l'importance de ce 
détail et en a donné une explication que la plupart 
des historiens semblent adopter aujourd'hui. La 
découverte des incommensurables, arrêter 
sans doute la spéculation des géomètres sur les 
rapports et proportions, avait pourtant fait naitre 
dans l'esprit des mathématiciens, — de ceux parti- 
culièrement qui se préoccupèrent de présenter la 
suite des vérités mathématiques avec une rigueur 
logique qui défiât toute objection, — le soucinaturel 
d'éviter dans les raisonnements l'écueil de l’incom- 
mensurabilité. Eudoxe, contemporain de Platon, 
conçut dans ce dessein une théorie qui supprimait 
désormais toute difficulté : c'est celle qu'expese 
Euclide dans lelivre V. Si simple qu'elle fût, elle se 
présentait comme relativement savante, et, dans La 
théorèmes fameux que 
sans 
