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G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE D'APASTAMBA 
pensée de l’auteur des Eléments, ne devait intervenir 
qu'après les quatre premiers livres. (Exactement 
comme, aujourd'hui même, quoique les théories 
sur les nombres irrationnelsaient depuisun certain 
temps pénétré dans l’enseignement, on ne songerait 
pourtant pas à les introduire dans les premières 
lecons d’arithmétique qui s’adresseraient à des 
débutants.) Dès lors, il fallait faire disparaître de 
l'exposé et des démonstrations des propriétés 
élémentaires des polygones et des cercles toute allu- 
sion à la notion de rapport, et mettre son ingénio- 
sité à y suppléer par des procédés différents. C'est 
là déjà une forte présomption pour que la preuve 
pythagoricienne, qu'on a voulu remplacer par une 
nouvelle, reposât sur les rapports et proportions. 
Heath en suggère une seconde, qui à sa valeur. 
Le raisonnement d’Euclide consiste à montrer que 
chacun des carrés construits sur les côtés de l'angle 
droitestéquivalent au rectangle forméavecl'hypoté- 
nuse et la projection sur celle-ci du côté de l'angle 
droit. Or, c'est exactement ainsi que procède la 
démonstration fondée sur les triangles semblables, 
de sorte que, dans l'hypothèse que celle-ci remonte 
aux Pythagoriciens, Euclide n'avait qu'à la repren- 
dre, en suivre le plan, et modifier seulement la 
manière de montrer l'équivalence de chaque carré 
au rectangle correspondant. 
Enfin, cette hypothèse est confirmée par tout ce 
que nous savons de l’ardeur avec laquelle les Pytha- 
goriciens ont étudié el manié les proportions, par 
lesquelles surtout ils voyaient s'établir un lien 
étroit entre l’Arithmétique d’une part, et, d'autre 
part, la Géométrie et la Musique. 
Bref, en l'absence de tout témoignage direct, il est 
extrêmement probable, peut-on dire au moins, que 
les premiers géomètres grecs ont d’un coup sub- 
stitué aux tâtonnements des Orientaux, sur une 
question qui se posait à eux depuis si longtemps, 
la démonstration si simple, si claire et si aisée que 
nous donnons nous-mêmes, en quelques mots, par 
la considération des triangles semblables, du 
théorème de Pythagore. 
A Pythagore également, c’est-à-dire aux toutes 
premières démarches de la Mathématique grecque, 
est attribuée par une tradition unanime la décou- 
verte de l’incommensurabilité de la diagonale et du 
côté. On sent ici tout particulièrement quelle était 
l'impuissance de l'expérience ou de l'intuition 
isolée : il aurait fallu qu'on püt les étendre à l'in- 
fini pour oser affirmer en leur nom que non seule- 
ment aucune partie aliquote de la diagonale jus- 
qu'ici essayée n’est contenue un nombre exact de 
fois dans le côté, mais encore qu'aucune autre ne 
le sera jamais. Et c'est pourquoi les Orientaux, 
\paslamba lui-même, ne se sont jamais élevés jus- 
qu'à cette idée qu'il est des grandeurs dont l’une 
ne peut servir à mesurer les autres. La méthode 
rationnelle et logique des Grecs, dès ses premières 
applications, les conduisait à dépasser par la notion 
de l’incommensurabilité toutes les vues mathéma- 
tiques de l'Égypte et de l'Orient. Et, si nous en 
croyons une information d'Aristote, la démonstra- 
tion avait atteint du premier coup la simplicité de 
celle par laquelle nous prouvons nous-mêmes 
qu'aucune fraction ne peut avoir 2 pour carré. 
Je ne parle que de l'œuvre initiale des géomètres 
grecs : comment ne pas rappeler au moins que, de 
Pythagore à Apollonius, trois cents ans suffirent 
pour élever l'édifice colossal de la Mathématique 
ancienne sur les quelques matériaux qu'avaient 
péniblement accumulés, pendant tant de siècles, 
les Orientaux et les Égyptiens? 
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Mais pourtant, — et c'est le dernier point sur 
lequel je veux présenter quelques remarques, — 
ces matériaux étaient décidément plus importants 
et plus riches qu'on ne le soupconnait encore géné- 
ralement il va une dizaine d'années. 
Quoique les Sulvasutras d’Apastamba aient été 
écrits cent ou cent cinquante ans après que vivait 
Pythagore, il est fort douteux, nous l'avons déjà 
dit, qu'ils se ressentent de l'influence grecque. 
Faut-il admettre qu'il y ait eu séparément dans 
l'Inde et en Grande Grèce développements simul- 
tanés et parallèles de la Géométrie? Tel n’est pas 
mon sentiment. Si nous devons penser désormais 
que les connaissances dont témoigne le traité 
hindou ne venaient pas des Grecs, il n’y a plus de 
raison pour les dater du temps où écrivait Apas- 
tamba, et pour ne pas admettre que ces connais- 
sances étaient déjà anciennes, sinon toujours dans 
l'Inde, au moins quelque part en Orient ou en 
Égypte, où Cantor nous a montré, deux mille ans 
avant J.-C., la mention de triangles se déduisant 
par similitude du triangle 3-4-5. Le même Cantor, 
d'ailleurs, a suffisamment justifié — comme 
essayait déjà de le faire Bailly, pour son hypo- 
thèse du peuple primitif disparu, mais avec beau- 
coup plus de documents positifs — des communi- 
calions fort anciennes, sur le terrain scientifique, 
entre Égyptiens, Chaldéens, Hindous et Chinois. 
D'Égypte le passage en Ionie et en Grande Grèce 
nous paraît naturel, et nous comprenons mieux que 
l'œuvre des Pythagoriciens se présente comme la 
suite des travaux que le traité d'Apastamba lui- 
même nous aide à connaître. Reste à faire voir alors 
quelle idée nouvelle et désormais plus exacte il 
nous donne de l'héritage transmis par l'Orient à la 
Grèce, et le mieux pour cela est de montrer en 
germe, dans les richesses qu'il contient, quelques- 
