G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE D'APASTAMBA 
des idées directrices fondamentales de la 
Mathématique future. 
Il est d’abord fort intéressant de constater que le 
premier effort de Pythagore et de ses disciples ait 
eu pour objet de reprendre, en la fondant assuré- 
ment sur de nouvelles bases, ce qu'on peut appeler 
la géométrie du triangle rectangle, qui formait déjà 
le fond essentiel du traité hindou. Établissement 
rigoureux du théorème sur la relation qui unit les 
carrés des côtés, — formules générales pour la 
recherche des triangles à côtés entiers, — démons- 
tration de l'irrationalité de la diagonale, — tels 
sont les premiers résultats fondamentaux qui 
constituent comme le noyau autour duquel se déve- 
loppera la Mathématique grecque. 
Le souvenir de ce rôle historique joué par le 
théorème de Pythagore se retrouve dans les Élé- 
ments, où, selon la remarque de Proclus, tout le 
premier livre semble converger vers la démonstra- 
unes 
A C B D 
tion de ce théorème, qui dominera d’ailleurs toute 
la suite. Mais ce n’est pas le seul rapprochement 
avec les origines de la Géométrie que suggère la 
lecture d'Euclide. Ouvrons le second livre et qu'y 
trouvons-nous? Une série de propositions algébri- 
ques exprimées pour la plupart dans le langage 
intuitif d'une figure qui rappelle celles d’Apastamba. 
La plus simple de ces propositions est l'égalité 
(a+ b} = + 17 +2ab, présentée de la manière 
même dont l’auteur hindou montrait l’agrandisse- 
ment d'un carré. 
Moins simples, plus savantes, mais non moins 
intéressantes du point de vue où nous nous placons 
(on le verra bientôt), sont les propositions 5 et 6 
de ce livre second : Étant donnée une droite AB 
dont le milieu est G, si D est un autre point quel- 
conque de AB, le rectangle de côté AD, BD, est 
égal à la différence des carrés construits sur CB et 
sur CD. 
Pour être plus précis et plus clair, bornons-nous 
au cas (prop. 6) où D est extérieur au segment AB. 
La démonstration se fait sur la figure 8, où le rec- 
tangle AD X BD, est aisément remplacé par le 
gnomon «By, et où il est alors manifeste que le 
rectangle en question est la différence des deux 
carrés de l'énoncé. 
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Qu'on se reporte à la construction d'Apastamba 
qui permettait de transformer un rectangle en carré: 
on sera frappé non pas seulement de la ressem 
blance, mais de l'identité des idées, Or, que 
l'on y prenne garde: cette construction est celle qui 
donnerait pour Euclide la résolution de l'équation 
du second degré. Paul Tannery, le premier, a forte- 
ment appelé l'attention sur ce point. D'ailleurs 
Suclide lui-même, dans les data, reprend la ques- 
tion en l’'énoncant autrement, et en demandant de 
trouver deux longueurs dont on connait l'aire du 
rectangle qu'elles forment, en même temps que 
leur somme ou leur différence (ce serait ici la diffé- 
rence AD-BD). L'aire du rectangle étant donnée par 
celle d’un carré /”, la longueur AB étant a, et x dési- 
gnant BD, l'équation du problème est 
ax + x? = hi. 
C'est donc en réalité la solution géométrique du 
problème équivalent à la résolution de l'équation 
du second degré qui sortira tout naturellementavec 
les Grecs de la construction d'Apastamba. Et c'est 
même, peut-on dire, notre résolution actuelle de 
l'équation, car (Zeuthen l'a observé depuis long- 
temps) la construction d'Euclide (et celle d'Apas- 
tamba par conséquent) met en évidence ce que 
montre aussi notre caleul, àsavoir, que le rectangle 
AD X BD, ou la quantité ax + x°, doit être mis 
d'abord sous la forme d’un gnomon ou différence 
de deux carrés : 
Enfin, le théorème euclidien peut être considéré 
comme un cas particulier et particulièrement 
simple d'un problème qui sera traité d'une facon 
plus générale au VT livre: je veux parler du fameux 
problème de l'application des aires. Il s'agira de 
construire sur une droite donnée un parallélo- 
gramme d’aire connue et présentant en excès ou en 
défaut un parallélogramme semblable à un paral- 
léllogramme donné. Le cas particulier est celui où 
le parallélogramme est un rectangle, et où le paral- 
lélogramme en excèsou en défaut doit être un carré, 
La figure 8 correspond à l'application avec excès, 
ou en hyperbole, et donne immédiatement la solu- 
tion du problème, c'est-à-dire l’inconnue BD, ou, 
ce qui revient au même, l'inconnue CD, comme 
côté d'un carré égal à la somme du carré construit 
sur CB et du carré équivalent à l'aire du rectangle 
ou du gnomon. 
Mais de bonne heure, on le sait, peut-être au 
temps de Platon, ces problèmes de l'application des 
aires, que Proclus, d'après Eudème, déclare 
remonter aux Pythagoriciens, recurent une signifi- 
cation nouvelle, en apportant les caractéristiques 
