BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 
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BIBLIOGRAPHIE 
ANALYSES ET 
1° Sciences mathématiques 
Borel (Emile), Professeur à la Faculté des Sciences 
de Paris. — Leçons sur la théorie de la Crois- 
sance, prolessées à la Faculté des Sciences de 
Paris, recueillies et rédigées par M. ArNAUD-DENIOY, 
ancien Elève de l'Ecole Normale supérieure, Maïtre 
de Conférences à l'Université de Montpellier. — 
1 vol. in-8° de 168 pages. (Prix : 5 fr. 50.) Grauthier- 
Villars, éditeur. Paris, 1910. 
Cet ouvrage est, par son sujet, l’un des plus impor- 
tants de la collection de monographies sur la Théorie 
des Fonctions, publiée sous la direction de M. Borel. 
En effet, comme le dit dans la préface le distingué 
géomètre, la théorie de la croissance semble devenir 
le fondement essentiel de la Théorie des Fonctions : 
elle jouera plus tard, sans doute, par rapport à cette 
théorie, le rôle d’une introduction dont les résultats 
seront constamment invoqués. Le but de la théorie 
de la croissance est de comparer la croissance du 
terme #, d'une suite ou de la valeur f(x) d’une fonc- 
tion à la croissance des suites ou fonctions types » et 
x, quand le rang 2 ou l'argument x croissent indéfi- 
niment. 
L'ouvrage commence par une introduction, où l’au- 
teur précise certaines notions, concernant les limites 
d'une suite, les extrêmes limites d’une suite et d’une 
fonction : ces généralités sont indispensables pour 
introduire certains nombres caractérisant la crois- 
sance des fonctions, et qui sont définis comme limites 
de fonctions ou de suites. Le sujet principal du livre 
est ensuite développé en cinq chapitres, dont les trois 
premiers concernent la théorie, et les deux derniers 
sont réservés aux applications. 
Dans le chapitre I, on envisage cerlains types fon- 
damentaux de fonctions croissantes, et l’on caractérise 
par un signe déterminé ce que l’on appelle leur ordre 
de croissance; ainsi on définira par lentier » l’ordre 
de croissance de x* (n positif); on désignera par la 
lettre w l'ordre de croissance de e*, et le fait que 
x 
e Mure : à Sr ee 
Fe est infini avec x se traduit par l'inégalité : w > », 
quel que soit ». On définit alors des opérations sur les 
ordres de croissance, permettant de noter par des 
combinaisons de signes élémentaires les ordres de 
fonctions formant des classes de plus en plus éten- 
dues; à chacune de ces combinaisons correspondra 
une fonction unique et réciproquement. 
Dans le chapitre IT, on étudie la croissance de fonc- 
tions plus générales dont les procédés du chapitre 
précédent ne permettent pas de noter l'ordre, lorsque 
celte croissance est voisine de celle des fonctions du 
premier chapitre. 
Le chapitre IIT est consacré aux modifications que 
subit l’ordre de croissance d’une fonction par l’inté- 
gration ou la différentiation. 
On arrive alors aux applications; comme le fait 
observer l’auteur dans la préface, les chapitres corres- 
pondants ont été rédigés de manière que les résul- 
tats essentiels pussent être compris indépendamment 
du système de notations exposé dans les premiers 
chapitres. Le chapitre IV : Applications analytiques, 
étudie d’abord la croissance dans les séries à termes 
constants et positifs, puis les formules d'approxima- 
tion de la fonction l'; à cette occasion, M. Borel pré- 
sente une intéressante étude de cette fonction. Le 
chapitre se termine par une comparaison de la crois- 
sance des fonctions entières à celle de leurs zéros. 
INDEX 
Le chapitre V : Applications arithmétiques, est par- 
ticulièrement intéressant; il a pour objet d'utiliser 
la notion de croissance pour la classification des nom 
bres incommensurables. Après avoir réfuté quelques 
paradoxes de la théorie des ensembles, qui se ratta- 
chent à certains de ses travaux antérieurs, M. Borel 
établit une relation entre les nombres incommensu- 
rables et les fonctions croissantes, qui le conduit à 
étudier l’approximation des nombres incommensu- 
rables par les nombres rationnels, au moyen des frac- 
tions continues; l’auteur expose, à cette occasion, la 
théorie de ces expressions, qui ne figure plus dans 
nos programmes d'enseignement; en particulier, il 
établit le célèbre théorème de Lagrange sur le déve- 
loppement en fractions continues périodiques des 
irrationnelles du second degré. Il examine ensuite le 
problème général de l’approximation des nombres 
quelconques par les nombres rationnels, puis par les 
nombres algébriques; le cas particulier du nombre e 
l'amène à montrer la transcendance de ce nombre, 
d’après M. Hurwitz, ce qui lui permet de déterminer, 
pour l’approximation de e par les nombres algébri- 
ques, une limite qu’on ne peut dépasser. 
Tel est le résumé sommaire de cette exposition très 
personnelle d’un sujet difficile et encore peu connu; 
ce livre avait sa place marquée dans la collection 
constituée par M. Borel, et si appréciée de Lous ceux 
qui désirent se tenir au courant des plus récents pro- 
grès de la Théorie des Fonctions. M. LETIEUVRE, 
Professeur au Lycée 
et à l'Ecole des Sciences de Rouen. 
2° Sciences physiques 
Ostwald (W.), Professeur de Chimie à l'Université 
de Leipzig. — L'évolution d’une science : La 
Chimie. lraduit sur la dernière édition allemande, 
par M. le D' Marcez Durour, Professeur agrege à la 
Faculté de Médecine de Nancy. — Bibliothèque de 
Philosophie scientifique. (Prix : 3 fr. 50.) Flamma- 
rion, éditeur. Paris, 1910. 
Le caractère de cet ouvrage est tout différent de 
celui des Lecons de Ladenburg' dont M. Corvisy à 
donné la traduction. Il ne faut pas chercher dans le 
livre d'Ostwald la multitude des faits qui est néces- 
saire pour se faire une opinion personnelle; l’auteur 
n’a pas voulu faire une histoire détaillée de la Chimie 
et permettre au chercheur, par des notes bibliogra- 
phiques nombreuses, de se renseigner rapidement et 
complètement sur une partie de cette histoire; ce 
petit livre est une étude d'ensemble, un exposé, très 
sobre de détails, des réflexions inspirées à l'auteur 
par l'étude de l’évolution de la Chimie; aussi ne trou- 
vera-t-on notés que les faits historiques les plus essen- 
tiels et ne s’étonnera-t-on pas de voir la partie biblio- 
graphique absolument sacrifiée. : 
Grâce à cette physionomie, ce livre est d’une lec- 
ture facile et peut être abordé par tous ceux qu'inté- 
resse le développement de l'esprit scientifique; ce qui 
ne veut pas dire, bien entendu, qu'il ne sera pas goûté 
par les chimistes de profession; je crois, au contraire, 
qu'il vient très heureusement compléter les Leçons de 
Ladenburg et que la lecture de ces pages si vivantes 
permettra au lecteur qui ne dédaigne pas l'étude 
approfondie de l’histoire des sciences, de tirer un plus 
large profit d'études historiques plus serrées. 
1 À. Lavexeur6 : Histoire du développement de la Chimie. 
Paris, Hermann, 1909. 
