846 A. SAINTE-LAGUË — REPRÉSENTATION PROPORTIONNELLE ET MATHÉMATIQUES 
LA REPRÉSENTATION PROPORTIONNELLE ET LES MATHÉMATIQUES 
Le problème de la représentation proportionnelle, 
posé sous forme mathématique, peut s'énoncer 
ainsi : On à un certain nombre de partis, pour cha- 
cun desquels on a lotalisé le nombre des voix obte- 
nues par les divers candidats du parti; il faut 
accorder à chacun de ces groupements un nombre 
de sièges de député, que nous supposons fixé à 
l'avance, tel que la répartition du nombre total de 
sièges, que l’on a ainsi à distribuer, soit la plus 
« proportionnelle », ou, si l’on veut, la plus équi- 
table possible. Il est impossible de traiter la ques- 
tion par le calcul tant que l’on n'aura pas indiqué 
ce que l'on entend par ce maximum de propor- 
tionnalité : habituellement, on ne précise pas 
suffisamment ce point, et, pourtant, à chaque façon 
de concevoir ce maximum correspond un mode 
différent de répartition. 
En plus de cette idée d'équité, difficile à préciser, 
il y à une autre condition presque indispensable 
au point de vue pratique : la simplicité des calculs 
à effectuer pour faire la répartition, et la simpli- 
cité de la théorie qui conduit à la méthode adoptée, 
afin que cette méthode ne paraisse pas trop mysté- 
rieuse au grand public. Laissons de côté, pour le 
moment, cette considération et bornons-nous à 
étudier le problème posé, en appliquant, autant que 
possible, les règles de la logique. 
Désignons par À,B, C, les nombres de voix 
réunis par chacun des partis en présence. Le lotal 
des suffrages exprimés est A+B+C+...—S. 
Soit N le nombre des députés à élire. Ce sont là les 
données du problème; les inconnues sont les 
nombres de sièges, &, 8, 7... que l'on devra accor- 
der respectivement à chacun des partis A; B, C.... 
de facon à distribuer les N sièges. Une règle de 
trois donne la valeur théorique de chaque part : les 
; É ANGERS 
A voix de la liste À ont droit à a = + députés; de 
Fe 3 © 
même B a droit à »— TG? mais ces nombres ne sont 
pas entiers en général. Donne-t-on « sièges au 
parti À, il a en trop « — a, si « est plus grand que à, 
et en moins à— 4, si « est plus pelit que a. Pour 
abréger le langage, nous appellerons erreurs com- 
mises ces différences qui existeront fatalement 
après la répartition entre les parts exactes et les 
nombres de sièges accordés; l'erreur commise pour 
chacun des A électeurs est d’ailleurs A fois plus 
petite que l'erreur commise pour tout son parti; 
œ 
: A — 0 
c'est donc ——— ou 
A 
chercher à rendre ces erreurs le plus petites pos- 
—à 
x suivant le cas. On peut 
sible ; nous essaierons plus loin de préciser ce que 
l’on peut entendre par une pareille expression. 
Il y à une autre facon de présenter la question : 
tous les députés de la circonscription devraient 
représenter exactement le même nombre de voix, 
« 
ANNE 6 ; S 
soit ici, avec les notations adoptées, N°0 un 
député de la première liste, ou liste À, représente 
— suffrages, puisque cette liste recoit « sièges. D'où 
= Ê 
une nouvelle erreur, qui est la différence des 
SHES 
nombres X et—;ona des erreurs analogues pour 
tous les autres députés de la circonscription : on 
peut chercher à rendre ces erreurs le plus pelites 
possible. 
Quel est le meilleur des deux systèmes? Vaut-il 
mieux rendre le plus égales possible les parts d'in- 
fluence de chaque électeur de la circonscription; ou 
faut-il que chaque élu représente des nombres 
d'électeurs aussi égaux que possible? Il serait 
agréable de constater que les deux procédés con- 
duisent aux mêmes résultats: nous verrons que, 
malheureusement, il n’en est pas tout à fait ainsi; 
il faut bien se décider à choisir. Bien que ce soit 
assez difficile, il nous semble qu'il vaut mieux éga- 
liser les parts de chaque électeur : c'est plus démo- 
cratique, cela correspond mieux à l'égalité, souvent 
rèvée, des bulletins de vote : « un citoyen en vaut 
un autre ». Nous nous déciderons done pour le 
premier système et nous nous bornerons à donner 
quelques indications au sujet du second, qui est 
d’ailleurs d'une étude beaucoup moins aisée. Fai- 
sons simplement remarquer, pour terminer ces 
préliminaires, que c'est un argument de sentiment, 
et non pas de logique, qui nous conduit à adopter 
l'un des systèmes plutôt que l'autre ! 
I. — MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 
Nous avons dit que chaque électeur devrait avoir 
une certaine « fraction de député »; s'il en recoit 
une différente, on commet une injustice qui peut 
Gb 163 PE | : 
TA Ou {5 suivant le cas. 
Comment rendre’ ces erreurs le plus petites pos- 
se 
représenter par 
! Nous renvoyons le lecteur, une fois pour toutes, à um 
article des Annales de l'Ecole Normale Supérieure, dans 
lequel il trouvera toutes les précisions techniques, qui ne 
seraient pas à leur place ici. La méthode des « moindres 
carrés », qui suit, a fait, d'ailleurs, l'objet d'une communi- 
cation à l'Académie des Sciences {séance du 8 août 1910). 
