A. SAINTE-LAGUÉË — REPRÉSENTATION 
sible? C'est ici que l'on constate des divergences 
d'opinion entre les divers auteurs de systèmes; les 
uns veulent que les électeurs les plus avantagés le 
soient le plus possible, et acceptent, par contre, 
toutes les inégalités pour les électeurs n'ayant pas 
leur part; c'est la règle d'Hondt que l’on obtient 
ainsi’, règle dont nous rappellerons l'énoncé plus 
loin. D'autres retournent en quelque sorte le pro- 
blème et veulent, au contraire, que l'électeur qui 
n'a pas sa part soit le moins lésé possible, quelle 
que soit, d'ailleurs, l'influence qu'il faudra attribuer 
par compensation aux électeurs trop bien repré- 
sentés; on est ainsi conduit, avec de légères modi- 
fications, à la rêgle des grands restes, dont nous 
parlerons plus loin, ou, si l'on veut, aux règles de 
MM. La Chesnais et Gaston Moch. D'autres, enfin, 
comme M. Equer, comparant l'électeur le mieux 
représenté à celui qui l’est le moins bien, essaient 
de réduire au minimum la différence qui existe 
entre eux, On peut varier à l'infini les desiderata 
dans ce genre de questions ; on peut chercher, par 
exemple, à avoir les erreurs le plus faibles pos- 
sible sans se préoccuper de savoir s'il s'agit d'élec- 
teurs trop bien ou trop mal partagés, ete. Il serait 
évidemment difficile de choisir entre ces divers 
systèmes, si la question ne s'était pas posée depuis 
longtemps aux physiciens et aux mathématiciens 
et n'avait pas élé résolue par eux : lorsqu'un phy- 
sicien a plusieurs valeurs d’une même grandeur, il 
prend la moyenne de ces valeurs comme résultat 
de la mesure; puis, pour apprécier le degré de 
précision de ses observations, il étudie les diffé- 
rences entre chaque mesure et la valeur moyenne ; 
il fait ensuite la somme des carrés de ces diffé- 
rences, ou, comme l’on dit, de ces erreurs, et dit 
que les mesures sont d'autant plus précises que 
cette somme est plus faible ; c'est la Loi de Gauss, 
ou des moindres carrés, qui est adoptée par la 
presque universalité des savants. L'analogie semble 
suffisante avec le problème considéré ici pour que 
l’on puisse employer le même critérium. 
$S 1. — Application de la méthode des moindres 
carrés au premier système. 
Adoptons donc cette règle et cherchons ce qu'elle 
donne dans l'étude des injustices commises pour 
les divers électeurs. Le lecteur trouvera peut-être 
un peu aride ce qui suit, bien que la démonstra- 
tion ne fasse appel qu'aux Mathématiques élémen- 
taires ; il pourra sans inconvénient laisser de côté 
la démonstration et ne considérer que la conclu- 
sion. 
L'injustice commise à l'égard de chaque électeur 
! Voir à ce sujet le Supplément du numéro du 25 juin 
1910 de la Grande Revue intitulée : Arithmétique et Repré- 
sentation proportionnelle, par M. Maurice Equer, 
PROPORTIONNELLE ET MATHEMATIQUES 
l 
du —®@ (s à à 
— OÙ 
À A 
quées; dans les deux cas, le carré de celle er 
est » avec les notalions déjà indi- 
est le même et la somme de ces carrés pour 
A électeurs de la première liste est A fois plu 
a—«) 
(a — « 
ou ; c'est la somme 
A° A 
des expressions analogues concernant les divers 
grande soil : A 
partis qu'il faut rendre minima, par un choix 
convenable des entiers x, 6, y, Le carré de la 
différence (4 — ) est formé, comme on le sait, de 
trois parties : (a— 4) = a° — 244 + n°. 
ET Î à _N 
Mais, par délinilion, on à : a = A. OUX—S" 
et par suite : 
(a— 04 ME a? N N a 
—— = —2r.—-+—-—a. = — 20. = + —. 
A A RE S SAA 
Si nous addilionnons les quantités analogues, la 
s : N 
somme des premiers termes est le produit par <’ 
qui est constant, de (a+ b+c—...), c'est-à-dire 
: ä 
de N; la somme des lermes 27. x et le produit 
N : 1 \ “ 
par & de (x+$+y+ ..…) qui est encore N, et cela 
quelle que soit la répartition adoptée; finalement, 
la seule partie de la somme qui soit variable est 
celle qui est fournie par les derniers termes tels 
2 
E 
A 
Sans vouloir insister là-dessus, remarquons que 
la somme totale mesure, en quelque sorte, la pré- 
cision avec laquelle on a pu faire la répartition 
dans la circonscription considérée, et permettra de 
comparer sous ce rapport les diverses élections. 
Pour continuer l'étude théorique de la question 
qui nous occupe, nous sommes ramenés à rendre 
nr CMS UT Va 
minima la somme : (& + EG + C + à par un 
choix convenable des entiers %, £, Y, . 
appuierons pour cela sur les identités suivantes, 
que le lecteur vérifiera sur des cas particuliers : 
que 
.. Nous nous 
- (2x — 3) (2x —1)—= 0° 
identités connues de tous les mathématiciens. La 
somme à rendre minima, étant formée de termes 
œ ï re ; 
tels que + peut être alors considérée comme la 
somme des fractions du tableau suivant : 
1 3 5 1 2x — 3 2x2 —1 
A AVANT A A A 
ANAL NO 261 
B B B:i0} B 
