BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 907 
BIBLIOGRAPHIE 
ANALYSES ET INDEX 
1° Sciences mathématiques Le chapitre IV généralise également pour l'ordre 
Blumenthal (Otto), Professeur à la « Technische 
Hochschule » d'Aix-la-Chapelle. — Principes de la 
Théorie des fonctions entières d'ordre infini. — 
1 vol. in-8° de 147 pages. (Prix: 5 fr. 50.) Gauthier- 
Villars, éditeur. Paris, 1910. 
Ce volume fait partie de la collection de monogra- 
phies sur la Théorie des fonctions, publiée sous la 
direction de M. E. Borel ; il a pour objet là théorie des 
fonctions entières les plus générales. 11 peut être con- 
sidéré comme la suite du beau livre de M: Borel, appar- 
tenant à la même collection : « Lecons sur les fonc- 
tions entières. » L'élément caractéristique qui sert à 
étudier et à classer ces fonctions est leur croissance ; 
à ce point de vue, on distingue trois catégories de 
fonctions entières, par comparaison avec une fonction 
exponentielle et, r désignant le module de la va- 
viable complexe z. La première catégorie : fonctions 
d'ordre fini et non nul, comparables à e’?, avec 9 fini et 
=Z 0, a été étudiée, d'abord par M. Borel dans l'ouvrage 
précité, puis par MM. Lindelôf, Boutroux, Wiman, etc… 
La seconde catégorie : fonctions d'ordre zéro, de 
croissance inférieure à et (6 >> 0), a été peu étudiée 
jusqu'ici. 
Enfin, la troisième catégorie : fonctions dites d'ordre 
infini, qui, comme e° par exemple, croissent plus vite 
que toute exponentielle e’?, fait l'objet du présent vo- 
lume. M. Blumenthal abandonne les distinctions, faites 
a’abord, de ces fonctions en sous-catégories, el il 
expose des procédés s’adaptant à toutes les fonctions 
d'ordre infini. C'est M. Borel qui, le premier, dans un 
mémoire des Acta mathematica (1897), a jeté les bases 
dela théorie; maisson travail comporte certaines restric- 
tions. Pour créer une théorie sans exceptions, M. Blu- 
menthal propose un concept nouveau, celui de la 
fonction-type, développé par M. Kraft (1903). La théorie 
exposée dans l'ouvrage est, au fond, celle de M. Kraft, 
mais avec des modifications essentielles et beaucoup de 
résultats nouveaux. 
Après une introduction se rapportant à l'historique de 
la question, l’auteur débute par un premier chapitre sur 
le mode de croissance des fonctions entières et distingue 
les fonctions à croissance très rapide et les fonctions 
à croissance très irrégulière. Dans le chapitre IL, il 
énonce les lois générales de la croissance, qui condui- 
sent à distinguer entre les vitesses de croissance ordi- 
naire et exceptionnelle ; il cherche alors à remplacer 
une fonction quelconque par une autre ne croissant 
pas exceptionnellement vite : c'est un problème d'in- 
terpolation, ou d'ajustement, qui est celui des fonctions 
types, base de toutes les recherches ultérieures ; l'au- 
teur résoud ce problème dans des conditions très pré- 
cises, et mesure le degré d’approximation de la so- 
lution. 
Dans le chapitre II, on aborde le problème d'étendre au 
cas de l'ordre infini la relation entre ce que l'on appelle 
l'ordre et la densité de la distribution des points du 
plan des Z où la fonction f (z) prend une valeur déter- 
minée a (ou distribution [a|). Au moyen des fonctions- 
types, M. Blumenthal construit une définition de l’ordre 
analogue à celle du cas de l’ordre fini, etil arrive, pour 
le nombre des zéros situés à l'intérieur ou sur la circon- 
férence d'un cercle de rayon assez grand, à une limite 
supérieure fournie par l'ordre qu'il à défini, et tout à 
fait analogue à celle que l’on connaissait déjà pour le 
cas de l’ordre fini. 
infini les définitions et théorèmes relatifs aux produits 
canoniques, déjà considérés par M. Borel dans le cas 
de l'ordre fini. Le chapitre V est consacré à l'examen 
critique de cette théorie, au point de vue de la préci- 
sion, et à sa comparaison avec celle qu'a édifiée 
M. Denjoy (C. 2?., 1903). 
Enfin, les chapitres VI et VII traitent du problème 
général des relations entre l'ordre d’une fonction com- 
plète (c’est-à-dire la plus générale) et une distribution 
[a] quelconque. L'auteur part de l'extension, due à 
M. Borel, dans le cas de l’ordre fini, du théorème fon- 
damental de M. Picard, sur les valeurs qu'une fonction 
monodrome ne prend pas ou ne prend qu'un nombre 
fini de fois au voisinage d'un infini essentiel ; il arrive 
ainsi, dans le cäs de l'ordre infini, à une sorte de dé- 
composition en deux autres théorèmes, l'un déjà 
énoncé par M. Borel, l'autre qui paraît être inédit et 
qui donne la relation exacte entre l’ordre d'une fonc- 
tion et la distribution de ses valeurs. Cela permet à 
M. Blumenthal de préciser certains faits relatifs aux 
distributions, et d'ouvrir la voie à de nouvelles re- 
cherches. 
L'ouvrage est complété par deux Notes, l'une qui fait 
connaître un mode de construction des fonctions- 
types, l’autre qui a pour objet une proposition nou- 
velle relative au facteur primaire de Weierstrass, 
qu'introduit la théorie des produits canoniques. 
Ce livre est, en fait, un véritable Mémoire original 
dans lequel M. Blumenthal, avec une ingéniosité et 
une pénétration remarquables, apporte une contribu- 
tion des plus importantes à la théorie des fonctions 
entières; son travail se rattache de la facon la plus 
heureuse aux recherches récentes sur ces difficiles 
problèmes. M. LELIEUVRE, 
Professeur au Lycée 
el à l'Ecole des Sciences de Rouen. 
2° Sciences physiques 
Battelli (A:), Occhialini [A.), Chella (S.), de lIns- 
titut physique de l'Université de Pise. — La Radio- 
activité et la constitution de la Matière. — 1 vol. 
grand in-8° de 359 pages avec1## figures. (Traduit de 
l'italien par Mwe Ta. Barrezu.) Gauthier- Villars, 
éditeur. Paris, 1910. 
Il serait difficile de trouver, dans l'histoire des 
sciences, une découverte ayant mis en mouvement, 
dans l'espace de dix années, autant d'idées nouvelles 
et provoqué à un degré aussi élevé l’activité des cher- 
cheurs, que la découverte des phénomènes radioactifs. 
Cette activité a engendré de nombreux et volumineux 
Mémoires, publiés dans toutes les langues et disséminés 
un peu partout dans les périodiques scientifiques, de 
sorte que seuls les savants spécialisés dans la question 
ont pu en suivre les progrès et en percevoir à chaque 
instant la physionomie exacte. Pour les autres, le 
besoin se faisait sentir d'un ouvrage résumant le plus 
simplement possible l'ensemble déjà très imposant des 
faits acquis et des théories qui en ont été la consé- 
quence. : 
C'est cet ouvrage que viennent de publier en colla- 
boration les trois professeurs italiens : MM. Battelli, 
Occhialini et Chella. 
Après une introduction sur la dissociation électrique 
conduisant à la notion des ons et un aperçu historique 
sur la découverte de la radio-activité, les auteurs 
décrivent les modes de séparation des substances radio- 
actives et les divers phénomènes révélateurs des radia- 
