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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1" Sciences mathématiques 



Mac Malion (Major Percy A.), F. -R. S. — Combi- 

 natory Analysis. — 2 vol. in-8° de X.\'-300 p. et 

 .\'.\'-3i0 p. (Prix ciirt. : 33 sli.) Cambridge University 

 Press, 1915-1916. 



« L'objet de cet ouvrage, dit l'auteur dans son Intro- 

 duction, est de présenter aux raatliéniaticiens un exposé 

 des théorèmes d'Analyse couibinatoire qui sont d'un ca- 

 ractère tout à fait général et de montrer leur connexion 

 en les présentant autant (ju'il est possible comme des 

 parties d'une même doctrine générale. » L'Analj'se com- 

 binatoire, dans cette conception, a un caractère nette- 

 ment algébrique, plutôt qu'arithmétique, et est au fond la 

 théorie des fonctions symétriques appliquée à la théorie 

 des partitions des nombres, des distrilnitions et autres 

 théories connexes. Les fonctions symétriques servent 

 surtout ici à la formation de fonctions génératrices énu- 

 raératives: une quantité, délinie pour tout système de « 

 nombres entiers r,, x^, ..., ru et indépendante de l'or- 

 dre de ces nombres, peut toujours être regardée comme 

 le coellicient de la fonction symétrique monôme 

 S /|''i /j''" •■■ 'n*^") ou, comme l'auteur écrit en abrégé, 

 (r, .r.>... x„), dans le développement d'une certaine fonc- 

 tion symétrique de n variables (,, t^, ..., fn, qui est la 

 fonction génératrice; ce procédé, dont le principe re- 

 monte à Euler, est appliqué systématiquement par l'au- 

 teur. Il y joint l'usage d'opérateurs différentiels, en par- 

 ticulier d'un opérateur Dg qui, appliqué à la fonction 

 symétrique monôme (<"|.r.^ ... x„), a pour effet de sup- 

 primer l'élément s, s'il (igure parmi les nombres )|, ..., 

 .(•„, et de remplacer la fonction (k^x., ..., .r,,) par zéro, 

 dans le cas contraire. L'usage de ces opérateurs permet 

 par exemple de résoudre immédiatement certains pro- 

 blèmes, comme le problème des ménages, qui avaient 

 jusque là été regardés comme insolubles. 



La i" section du 1»'' volume s'occupe de la théorie des 

 distributions. On a ici le premier exemple d'une fonc- 

 tion génératrice, cella qui fournit le nombre de manières 

 dont on peut répartir n objets dans n boites dont p^ 

 sont supposées d'une première espèce, i/, d'une seconde 

 espèce, j-, d'une troisième espèce, et ainsi de suite. Cette 



fonction génératice est le produit /(|,| /(,| 



..., en dési- 



gnant par Ap la somme des fonctions symétriques mo- 

 nômes de poids p de n variables. Si ce produit est déve- 

 loppé suivant une fonction linéaire des fonctions 

 symétriques monômes (^17 r...)de poids n, le coefficient 

 de (p q r...) indique le nombre de distributions possibles 

 quand, parmi les n objets donnes, il yen a /^ d'une pre- 

 mière espèce, q d'une seconde espèce et ainsi de suite. 



La section II est consacrée à la théorie des séparations 

 d'une partition. L'auteur y est conduit à une généralisa- 

 tion remarquable du théorème fondamental de la théorie 

 des fonctions symétriques. 



La section III s'occupe de la théorie des permutations 

 de n objets, distincts ou non. L'auteur y démontre un 

 théorème, dont il donne de nombreuses applications, et 

 qu'il appelle le « master theorem » ; il lui permet, par 

 exemple, au moyen d'un certain déterminant, de former 

 immédiatement la fonction génératrice du problème des 

 rencontres ; le coefficient de {pi p> ... p,.) dans le déve- 

 loppement de cette fonction donne le nombre de permu- 

 tations de n objets, dont />, d'une première espèce, p., 

 d'une seconde espèce, etc., telles qu'aucun objet ne soit 

 remplacé par un objet de même espèce L'auteur consi- 

 dère enlin ce qu'il appelle les « lattice permutations », 

 qui jouent un rôle important dans le second volume. 

 Pour donner une idée de ces permutations et des pro- 

 blèmes qui peuvent se poser à leur égard, imaginons 

 que les objets considérés soient les bulletins de vole 

 d'une élection et que le dépouillement du scrutin se fasse 



à un seul bureau ; les bulletins, rangés dans l'ordre du 

 dépouillement, présentent une n lattice permutation » 

 si, à aucun moment du dépouillement, le résultat par- 

 tiel du scrutin n'est en contradiction avec le résultat 

 final. 



La section IV est consacré à la composition des nom- 

 bres, une composition d'un nombre n étant une parti- 

 tion, mais dans laquelle l'ordre des parties ne peut pas 

 être changé. Il y est également question delà composi- 

 tiondes nombres « multipartite w, c'est-à-dire formés de 

 l'ensemble de deux ou plusieurs nombres entiers, cha- 

 que élément de la partition ou de la composition étant 

 formé du même nombre d'entiers. L'auteur fait usage à 

 cet égard de dilférentes représentations graphiques. Il 

 consacre deux chapitres intéressants à ce qu'il appelle 

 le problème de Simon Newcomb, qu'il rattache à une 

 certaine patience. 



La section V s'occupe du problème de l'énumération 

 des carrés latins et du problème des ménages. 



La section VI, la dernière du premier volume, traite 

 de l'énumération des partitions des nombres « multi- 

 partite », grâce à l'emploi des opérateurs différentiels U 

 et à l'introduction de certaines fonctions symétriques 

 de deux ou plusieurs séries de variables. 



Le second volume de l'ouvrage est spécialement con- 

 sacré à l'étude des fonctions génératrices des partitions 

 des nombres. L'auteur y expose ses propres recherches 

 sur les partitions à deux dimensions, les différentes 

 parties du nombre donné étant rangées, non pas linéai- 

 rement, mais suivant les cadres d'un tableau à deux 

 dimensions, et n'allant pas en croissant soit quand on 

 les suit sur une ligne de droite à gauche, soit quand on 

 les suit sur une colonne de bas en haut. 



La section VII s'occupe de l'étude détaillée de la 

 théorie d'Euler; le nombre des partitions d'un entier n 

 est, comme on sait, le coefficient de .1" dans la fonction 



génératrice — 5— 7; — Cette partie de 



(I — :r)(i — .r-)(i —x-<)... 



l'ouvrage est particulièrement intéressante par la ri- 

 chesse des résultats et la variété des procédés employés. 



La section Vlll a pour but d'établir une nouvelle 

 base pour la théorie des partitions, en regardant le pro- 

 blème des partitions comme un cas particulier du pro- 

 blème général suivant : Trou\'er de comliien de manières 

 an entier n peut être décomposé en une somme d'entiers 

 Xf, x-i ...,x\ assujettis à satisfaire à un certain nombre 

 d'inégalités données. Lsifonclion génératrice correspon- 

 dante est déterminée en faisant usage du « master theo- 

 rem » de la section 111. L'auteur traite en particulier par 

 cette méthode le problème des carrés magiques. 



Les sections IX et X sont consacrées à la recherche de 

 la fonction génératrice énumérative des partitions à 

 deux dimensions ; l'auteur s'y sert des « lattice permu- 

 tations » déjà étudiées dans le premier volume. 



Enfin la section XI esquisse la théorie des fonctions 

 symétriques de plusieurs systèmes de variables : elle 

 permet en particulier de donner sous une forme extrê- 

 mement condensée la solution du problème des carrés 

 latins. 



Chaque volume est suivi de quelques tables numé- 

 riques permettant au lecteur l'application inunédiate et 

 sans calcul des théorèmes de l'ouvrage, dans les cas nu- 

 mériques les plus simples. Le second volume contient 

 enlin un index al[)Jiabétique des malièies traitées. 



Il est inutile d ajouter que cet ouvrage, dont l'analyse 

 précédente montre suffisamment la richesse, présente 

 les ([uabtès des ouvrages anglais. Les cas particuliers 

 traités dans le détail sont nombreux: mais un lecteur 

 français voudrait quelquefois un peu plus de rigueur 

 dans les démonstrations. La partie bibliographique est 

 aussi un peu trop réduite aux mémoires de l'auteur lui- 



