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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Uilivres (ie G. -H. Halplieii, publiées par les soins 

 de C. JoKDAN. H. PoiNCARÉ, E. Picard, avec la colla- 

 boiation de E. Vkssiot. Tome I. — l vol. ^r. in-S° 

 de XLIlI-ïilO pages (Prix : 20 francs). Gauthier- l'il- 

 lars et Cie, éditeurs, Paris, igi6. 



Que dire de l'œuvre d'Halplien qui n'ait élé dit — et 

 avec quelle autorité I — par Henri Poincaré et par 

 M. Emile Picard, dans les notices qu'ils lui ont consa- 

 crées indépendamment l'un de l'autre; où, avec des 

 modalités diverses, ils ont si bien su en faire ressortir 

 la force et la iirofondeur? 



La distinction, mise en lumière à celle occasion par 

 M. Picard, entre les deux jjiands courants de reclierclies 

 qui se partagent les elforts des niatliémaliciens est 

 aujourd'hui classique. Rappelons les termes dont s'est 

 servi l'éminent géomètre pour la formuler : 



« Il semble qu'on puisse aujourd'hui distinguer, 

 chez les mathématiciens, deux tendances d'esprit dilTc- 

 rentes. Les uns se préoccupent principalement d'élargir 

 le champ des notions connues; sans se soucier toujours 

 des dillicultés qu'ils laissent derrière eux, ils ne crai- 

 gnent pas d'aller en avant et recherchent de nouveaux 

 sujets d'étude. Les autres préfèrent rester, pour l'ap- 

 profondir davantage, dans le domaine de notions mieux 

 élaborées; ils veulent en épuiser les conséquences, et 

 s'ellorcent de mettre en évidence dans la solution de 

 cliaciue question les véritables éléments dont elle dépend. 

 <;es deux directions de la pensée mathématique s'ob- 

 servent dans les différentes branches de la Science; on 

 peut dire toutefois, d'une manière générale, que la pre- 

 mière tendance se rencontre le plus souvent dans les 

 travaux qui touchent au Calcul intégral et à la Théorie 

 des fonctions ; les travaux d'Algèbre moderne et de 

 Géométrie analytique relèvent surlout de la seconde. 

 C'est à celle-ci que se rattache ])rincipalemeut l'ouvre 

 d'Halphen : ce profond mathématicien fut avant tout un 

 algcbriste ». 



Si l'objet de la plupart des travaux d'Halphen appa- 

 raît comme tenant au domaine de la Géométrie, c'est 

 bien, en elfet,dans la partie de ce domaine qui, sous le 

 nom de Géométrie énumérative, conline à celui de l'Al- 

 gèbre et s'exploite, en tout cas, à l'aide d'instruments 

 empruntés à r.\lgèbre. Sur ce terrain, Halphen s'est 

 montré d'une maîtrise incomparable et n'a rien livré au 

 public ijui ne soit al)Solument achevé et parfait. La 

 joie esthétique que procure aux initiés la lecture de ses 

 travaux a été in(li([uée d'une touche délicate par Poin- 

 caré, dans le passage de sa notice que voici : 



" Le savant digne de ce nom, le géomètre surtout, 

 éprouve en face de son œuvre la même impression que 

 l'artiste; sa jouissance est aussi grande et de même na- 

 ture. Si je n'écrivais pas pour un public amoureux de 

 la Science, je n'oserais pas m'exprimer ainsi ; je redou- 

 terais l'incrédulité des profanes. Mais ici je puis dire 

 toute ma pensée. Si nous travaillons, c'est moins pour 

 obtenir ces résultats auxquels le vulgaire nous croit 

 uniipiement attachés, (|ue pour ressentir cette émotion 

 esthétiq le et la communiquer à ceux qui sont capables 

 de l'éprouver. 



•' Celte émotion, les ouvres inspirées par les deux 

 tendances opposées [dclinies plus haut par M. Picard] 

 peuvent également nous la procurer. Si nous aimons à 

 gravir les cimes d'où nous découvrons de larges ho- 

 rizons, notre admiration esl-elle moindre devant les 

 ouvrages accomplis de la statuaire grecque? Cesl n ers 

 chefs-d'd'uvre que font penser les Mémoires d' Halphen . 

 ail il seinlile qu'on ne pourrait changer un seul nmt 

 sans en détruire l'harmonie. » 



Nous avons souligné ce dernier passage parce qu'il 

 ne nous semble pas possible de résumer plus heureu- 

 sement l'impression d'ensemble qui se dégage de l'a'U- 

 vre d'Halphen. Nous ne saurions non plus résister à la 

 tentation de reproduire la phrase suivante du texte de 

 Poincaré, où, avec une si charmante bonhomie, que 

 reconnaîtront bien tous ceux qui ont eu le privilège 

 d'approcher l'illustre géomètre, il se laisse aller à faire 

 cet aveu : 



« Avouerai-je que je l'ai souvent envié? Je n'ai 

 jamais terminé un travail sans regretter la façon dont 

 je l'avais rédigé ou le plan que j'avais adopté. Voilà une 

 impression qu'IIali)lien n'a jamais connue. » 



Les lecteurs de Poincaré n'hésiteront pas à trouver 

 qu'il ne laisse pas là de se calomnier un peu lui-même; 

 mais le témoignage que, sous cette forme plaisante, il a 

 ainsi apporté à Halplien mérite d'être retenu. 



Sa comparaison des travaux mathématiques d'Hal- 

 phen avec les chefs-d'icuvre de l'art grec apparaît, en 

 tout cas, comme singulièrement juste; de ces travaux, 

 en effet, se dégage, à première vue, une impression de 

 pure beauté classique, comme en produit, par exemple, 

 la lecture d'une tragédie de Racine. Cette impression 

 se trouve d'ailleurs renforcée par le groupement de 

 toute la production mathématique d'Halphen en une 

 édition complète dont Mme Halphen a puisé l'initiative 

 dans sa piété conjugale et pour la mise au point de 

 laquelle MM. Jordan, Picard et Vessiot lui ont apporté 

 leur précieux concours. Charles Halphen, <|ui s'était 

 donné de tout civur à cette publication de l'uuvre pa- 

 lernelle, n'aura, hélas, pas eu la joie de la voir se réa- 

 liser. Vaillant soldat, comme son père, il a trouvé une 

 mort glorieuse, sur le champ de bataille, le i5 mai igiS, 

 à Neuville-Saint-Vaast. 



Le premier volume, qui vient de i)araitre, s'étend à 

 la première période de l'activité scientifique d'Halphen, 

 qui, de 1869 à 1876, embrasse ses recherches fonda- 

 mentales sur la théorie des caractéristiques des sys- 

 tèmes de coniques, et sur celle des points singuliers 

 dans les courbes algébriques planes. Ces deux théories, 

 en soi d'une haute im|)ortance, soulèvent des questions 

 d'Algèbre de la plus haute dilliculté, qu'Halphen est 

 parvenu à résoudre de la façon la plus complète, de 

 telle sorte qu'ajirès lui il n'y ait i)lus à y revenir. 



Voici nolammeut ce que dit Poincaré de la mise au 

 point ilélinitive de la théorie des caractéristiques, abor- 

 <lée en premier lieu par l'amiral de Jonquières et jiar 

 Chasies : 



« La solution ne présente jjIus l'élégante simplicité 

 qu'avaient rcvée MM. de Jonquières et Chasies; mais 

 elle est désormais complète, aucun cas d'exception n'y 

 peut ])lus ééhapper. 



(i Halphen, ayant ainsi résolu délinitivement cette 

 question, qui arrêtait depuis si longtemps les plus ha- 

 biles géomètres, ne l'a pas quittée sans l'avoir complè- 

 tement épuisée. » 



La théorie des points singuliers, envisagée dans sa 

 plus grande géuéralilc, n'apparaissait pas, de prime 

 abord, comme moins c|)ineuse que la précédente. Avec 

 une suprême élégance, Halphen parvint aiissi à en dé- 

 nouer, in quel(|ue sorte, toutes les diflicullés. H se pro- 

 posa, à cet effet, de résoudre un problème que Poincaré 

 énonce en ces termes : 



" Etant donnée nue courbe algébrique présentant 

 des singularités quelconques, la transformer en une 

 autre courbe n'axant <iue des points multiples à tangen- 

 tes séparées. C'était là. en même temps, résoudre un 

 problème indispensable pour la théorie des fonctions 

 abéliennes et compléter l'étude des ])oints singuliers 

 qui se trouvaient ainsi résolus en singularités ordinai- 

 res. Ce problème, sans doute, comporte une intinité de 



