A. E. H. LOVE. 



LA iiiajiiaiciii': matiikmatioue 



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Na()i(M-, ot qui s'esl tlével()|)iM''e iiltcrieuremeul 

 en Calcul ilidereuliel ; celle de « irioupe », notée 

 d'abord par lluHiui à propos de suhstilulions (|ui 

 laissenl invariante une l'onction rationnelle, dé- 

 veloppée plus tard parCiaiois en Algèbre et par 

 Lie en Géométrie. Ces exemples montrent que 

 les idées nouvelles en Mathétnatiques ont des d(''- 

 buts modestes jusfiu'au moment où un lu)mme de 

 {féiiie développe leur sii;nilicati()n essentielle et 

 les fait rentrer dans nolre|)alrimoine inttïlleetuel. 



Beaucoup d'exemples pourraient être donnés 

 de recherches de prix qui ont été regardées par 

 leurs auteurs comme l'introduction ou l'établis- 

 sement de méthodes nouvelles. Il sullit de rap- 

 peler(jue l'invention par Leibnitz du Calcul dif- 

 férentiel fut ])ubliée en une courte note de moins 

 de sept pages comme une méthode permettant 

 de trouver des maxima et ties mininia, et des tan- 

 gentes à des courbes. 



11 estsuperllu de donner des exemples de mé- 

 moires contenant des méthodes nouvelles ou des 

 preuves nouvelles de résultats connus, bien 

 qu'on puisse rappeler le cas curieux d'un théo- 

 rème célèbre dont on dut trouver une nouvelle 

 démonstration parce que la preuve originale 

 avait disparu : je veux parler du théorème de 

 Pascal relatif à l'hexagone inscrit. Les recher- 

 ches de Pascal, qui n'ont jamais été complète- 

 ment publiées, semblent être fondées sur les tra- 

 vaux trop négligés de Desargues, relatifs à la 

 perspective, mais le théorème susvisé ne se 

 trouve pas dans ce travail. Nos démonstrations 

 sont dues à des auteurs beaucoup plus récents, 

 tels que Brianchon, qui fut le premier à déve- 

 lopper systématiquement la théorie du rapport 

 anharnionique, bien que la règle fondamentale 

 que deux rapports de ce genre ne sont pas altérés 

 par projection fût connue de Desargues. 



Ce fragment d'histoire nous montre la genèse 

 d'une idée nouvelle : le rapport anharmonique, 

 le développement d'une méthode géométrique 

 nouvelle fondée sur cette idée, un résultat nou- 

 veau et frappant, une démonstration nouvelle et 

 élégante. Il semble que le progrès mathématique 

 nécessite ainsi beaucoup de travaux d'espèces 

 différentes. 



En dehors de cette qualité primordiale de 

 nouveauté ou de création artistique, nous pou- 

 vons citer d'autres qualités d'un travail de re- 

 cherche de valeur. L'une d'elles n'est pas facile 

 à définir : je la qualifierai d'opportunité. Un tra- 

 vail, pour avoir du prix, doit être une branche 

 de l'arbre de la science. Il doit être en relation 

 avec l'état de la connaissance mathématique au 

 moment de sa publication. S'il est isoh;, ou n'a 



aucun ra|)j)ort avec le milieu ambiant, on peut 

 le qualifier d'Inopportun. Une proposition |)eul 

 ètie nouvelle, vraie, difficile à j)rouver, et cepen- 

 ilant revêtir ce dernier caractère. Prenons un 

 exemple : le professeur Ilobson, dans son pe- 

 tit traité sur la « Quadruture du (>ercle «, nous 

 donne une revue historifjiie intc-ressante de l'état 

 de nos connaissances en ce qui concerne ce pro- 

 blème. Quiconque emploierait son temps à dé- 

 velopper de iKtuvelles séries pour calculer des 

 valeurs approchées de " à la manière des séries 

 de Gregory ou des séries de Newton ferait de la 

 besogne qui aurait été très intéressante au 

 xvii= siècle, mais qui serait « hors de propos » en 

 ce moment. L'exemple est peut-être poussé à 

 l'extrême, mais précise (-epentlant mon idée. 



Un autre caractère important peut être défini 

 par le ternie de précision '. 



Un travail de recherche doit tendie à donner 

 une réponse précise à une question définie. 

 Comme exemple, nous rappellerons que le tra- 

 vail le plus célèbre de Galois avait pour but de 

 répondre à la question suivante : Quelles équa- 

 tions algébriques peuvent être résolues au moyen 

 de radicaux? Elle venait alors fort à propos. 

 Dans la première moitié du xvr siècle, plusieurs 

 mathématiciens italiens — parmi lesquels Car- 

 dan est le plus connu — avaient trouvé le moyen 

 de réduire la solution de l'équation du 3° degré 

 à celle de la forme quadratique, et Ferrari celui 

 de transformer la solution de l'équation bicar- 

 rée en celle d'une équation cubique. Plus tard, 

 et par des voies difTérentes, Euler était arrivé au 

 même résultat et avait lancé l'idée qu'une réduc- 

 tion analogue devait être possible pour une équa- 

 tion de degré n à celle de degré n-i. Lagrange 

 poursuivit le développement de cette proposition 

 et arriva au résultat que le procédé était en dé- 

 faut pour l'équation du 5" degré, et Abel prouva 

 péremptoirement que l'équation générale du 

 5'^ degré ne peut se résoudre par des radicaux. 



La précision que le travail d'Ai^el donna à la 

 question, impossible à atteindre au temps de 

 Cardan, permit à Galois de poser une question 

 nette et définie. Il trouva également une réponse 

 parfaitement définie. 



A propos de cette qualité de précision, il est 

 intéressant de rappeler l'influence qui a été exer- 

 cée sur les progrès des sciences mathématiques 

 par les problèmes. Nous savons que beaucoup de 

 découvertes précieuses ont été faites en poursui- 

 vant la solution de quelque problème donné. 

 Comme exemple, je citerai le problème des trois 



1 . Ce tei-me ne rend pas cependant tout à fait le sens du 

 mot anglais dcpniieness (Note du trad.). 



