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A. E. H. LOVE. — I.A RI'XHKRCIIli MATHEMATIQUE 



corps, dont l'histoire montre bien comment un 

 problème se transforme en question générale. 

 Dans sa forme primitive, il se ramène à la théo- 

 rie de la Lune, dont la loi du mouvement autour 

 de la Terre, troublé par l'attraction du Soleil, 

 peut être trouvée par diverses méthodes avec une 

 approximation sulFisante pour des fins pratiques. 

 Sous sa forme plus générale, il devient le- pro- 

 blème des /; corps, qui comprend alors la théo- 

 rie du système planétaire, soluble également par 

 différentes méthodes d'approximations succes- 

 sives. Mais l'intérêt théorique du problème reste 

 néanmoins entier ; il a donné lieu à une suite de 

 questions du domaine de la théorie des équa- 

 tions aux dérivées partielles. II est prouvé au- 

 jourd'hui que les équations du problème n'ad- 

 mettent pas d'intégrales d'un type autre que 

 celles qui sont connues et qui expriment la con- 

 stance de l'énergie, celle du moment linéaire et 

 d« la quantité de mouvement. 



Mais la question de l'intégration complète 

 reste entière. Peut-être n'a-t-elle pas encore été 

 posée sous la forme définie qui est nécessaire 

 pour réaliser un nouveau progrès? Il est quelque- 

 fois vrai qu'une question bien posée est à moitié 

 résolue. 



Nous avons signalé déjà trois caractères de 

 toute recherche originale en Mathématiques : 

 nouveauté, opportunité et précision J'en ajou- 

 terai une quatrième : la /;/;>!ér<i///e'. Le bon ou- 

 vrage n'est pas paroissial, il n'est pas restreint 

 à un horizon borué. La qualité de généralité 

 semble opposée à celle de précision ', mais ne doit 

 pas être confondue avec la nébulosité^. Comme 

 exemple d'un travail qui porte évidemment la 

 marque d'une généralité de bon aloi, je citerai le 

 fameux mémoire de Gauss sur les séries hyper- 

 géouKîtriques. A l'époque où il fut publié, on peut 

 dire qu'il englobait la théorie de la plupart des 

 fonctions qui avaient été étudiées jusqu'alors par 

 l'Analyse. Mais il n'y a rien d'imprécis ou de 

 vague dans le travail de Gauss. Comme autre 

 exemple de généralité, nous citerons le transfert 

 (lo la théorie des fonctions elliptiques de la base 

 relativement étroite do la théorie de Jacobi, avec 

 ses modules et son cortège effrayant de formules 

 pseudo-trigonométriqueSjSur le fondement rela- 

 livcnient simple, mais beaucoup plus étendu, 

 fourni jjar la théoiie des i'onctions doublement 

 périodiques. 



Ces exemples nous portent à croire que la gé- 

 néralité est h) marque des bonnes théories, alors 

 que la précision .s'attache surtout aux problèmes, 



1. Djins le sens du mot an^jhiis .- <le6nitei)C»ri ». 

 ï!. Ce que les iitij^'ais appellent a vu^ueness ». 



mais il ne faut pas oublier que les théories ont 

 leurs racines dans des problèmes et portent 

 leurs fruits dans la solution de ceux-ci. 



N'y aurait-il pas lieu de craindre parfois une 

 généralité excessive? On raconte qu'une certaine 

 variété de roses était fort demandée parles bou- 

 quetières, non seulement à cause de leur beauté, 

 mais spécialement parce que leur tige était lon- 

 gue et solide. Les horticulteurs s'appliquèrent à 

 renforcer les tiges, et réussirent si bien qu'ils 

 créèrent des types de sept pieds de longueur, 

 qui n'avaient qu'un inconvénient : c'est de ne 

 plus porter de fleurs. D'aucuns estiment que l'on 

 se trouve sur un terrain peu solide en préten- 

 dant qu'il puisse exister de tels excès de généra- 

 lité, bien qu'un analyste aussi éminent que 

 Picard ne soit pas sans équivoque à ce sujet. 

 Cependanton peut souhaiter quehiuefois que les 

 auteurs qui développent des théories générales 

 dans toute leur ampleur soient invités à prendre 

 haleine et à s'informer dans quelle mesure elles 

 seront utiles pour la résolution de problèmes dé- 

 finis. 



Prenons un exemple. La théorie des équa- 

 tions différentielles linéaires ordinaires est 

 poussée très loin, mais les applications à des cas 

 particuliers sont entravées par une difficulté 

 que la théorie n'effleure pas. Je ne déprécie pas 

 l'intérêt ni l'importance des théories existan- 

 tes : quiconque les a étudiées en a été frappé. 

 Mais supposons que nous soyons en face d'une 

 équation différentielle linéaire de deuxième or- 

 dre à coefficients algébriques rationnels et à 

 points singuliers connus. Nous pouvons former 

 et résoudre les équations indicatrices relatives 

 aux singularités finies et obtenir les équations 

 simultanées pour déterminer les coefficients 

 des séries qui représentent les intégrales régu- 

 lières dans les voisinages correspondants. Mais 

 nous ne savons pas écrire, habituellement, le 

 coefficient du «« terme d'une de nos séries, à 

 moins que l'équation résultante ne soitune équa- 

 tion linéaire du premierordre, ou une du second 

 ordre du type qui peut être résolu par des rela- 

 tionsentrc séries hyper-géométriques. Quand une 

 éf[nation résultante n'a pas un de ces caractères, 

 soit parce qu'elle est une équation du deuxième 

 ordre, ou une équation à trois termes, nous pou- 

 vons obtenir une solution pratiquement siilTi- 

 sante en faisant usage de fractions continues, 

 comme Laplacc dans sa théorie des marées. Mais, 

 si elle est d'ordre supérieur au second, soit une 

 équation à quatre termes, cette voie même est 

 bloquée. Il me semble donc que sinon dans la 

 totalité, au moins pour une grosse part, la théo- 

 rie des équations difiérenlielles linéaires est 



