AU SUJRT DRS TANGENTES 



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Fig. ]. 



appliculioii, (loMiiuiil l;i t-iirislruclioii il uiiu t;iii- 

 gcnle à 1.1 p.irabolc. 



[.a méthode gciiërale est très simple : On 

 <l(>nne à la variable A, dont dépend la grandeur 

 étudiée, un aocroissement indétertniné I'",; et <in 

 égale la nouvelle exi>ression de la grandeui' à 

 l'ancienne. Après avoir rendu entière l'égalité 

 ainsi obtenue et elîacé les termes communs aux 

 di'H\ membres, on divise ceux-ci par K, c{ui se 

 trouve en l'acteur dans tous les termes, après 

 quoi on remplace R par 

 zéro dans les termes qui 

 le contiennent encore. 

 1/équation qui reste sert 

 à déterminer A pour les 

 valeurs maxinia ou mi- 

 nima de la grandeur. 



Quant à l'application 

 aux tangentes, Fermât 

 traitait l'exemple suivant : 

 Soit (fig. 1) la parabole 

 BDN, de sommet I), et, au 

 point l^, la tangente à 

 construire, BE, qui ren- 

 contre l'axe en E. Un point 

 quelconque de cette 

 tangente étant extérieur à 

 la parabole, si BC et 01 sont les ordonnées des 



2 



points B et O, on aura — > -— , ou, à cause des 



2 



triangles semblables, ~ -. —. 

 ' Dl ' IE2 



Désignons les longueurs CD et CE par D etA, 

 et soit C1=:E. 



n , D A2 



On aura alors :jj_^>^^^_^ 



ou D(A — E)^> A-'(D — E). 



Egalons les deux membres de l'inégalité, sup- 

 primons le terme commun D.A-, et divisons les 

 termes restants par E, nous obtiendrons : 



D.E— 2A.D + A2 = 

 ou, en faisant E=:0, 



A=2D, 

 qui fixe la valeur de la sous-tangente A*. 



Dès qu'il a lu cet écrit. Descartes en envoie une 

 violente critique à Mersenne (janvier 1638). Cette 

 critique comprend deux parties distinctes. 



Dans la première. Descartes essaie de montrer 

 que la méthode générale de ma.rimis et minimis, 



1. Seules les notations de Fermait ont été légèrement modi- 

 fiées : il écrit Aq au lieu de A-', D in E nu lieu de D.E, D in 

 A bis au lieu de 2A.D. 



directement appliquée au iiroblcnic de la tan- 

 gente à la parabole, ne conduit niillemeni à 

 trouver cette tangente, comme l'alliriiie Fermai. 

 Ueprenant, en efTet, la figure et les notations de 

 celui-ci, Descartes cherche la longueur maxima 

 qu'où peut mener dti point E à la parabole. On a 



m = A^ + B'-'. Quand EC devient A + E, DC de- 

 vient D-j-E; et comme le côté droit de la pa- 

 rabole est évidemment -;— . B' devient éiral à 



D " 



(D 1- E) X -^. et A- devient (A + E)^ On trouve 



2 



maintenant pour BE l'expression 

 B2D + B-E 



(A + EP + ' 



D 



Egalons-la à la première, nous obtenons : 



A2 -f B'^ = A^ + 2AE + E" + B-' + — 



ou 2AE + E2-f^ = 



ou enfin, après division par E, et pour E^O, 



« ce qui ne donne point la valeur de la ligne A, 

 comme l'assure l'auteur, et, par conséquent, la 

 règle est fausse ». 



Dans la seconde partie de sa critique. Des- 

 cartes porte son attention sur le raisonnement 

 même de Fermât dans la construction de la tan- 

 gente à la parabole, et montre que ce raisonne- 

 ment, qui réussit pour la parabole, ne vaut plus 

 rien déjà pour l'ellipse et l'hyperbole. On aura 

 beau exprimer que le rapport des abscisses des 

 points B et doit être supérieur à celui des 

 carrés des ordonnées, on ne pourra plus ainsi 

 déterminer la tangente aux autres sections du 

 cône. 



Il faut l'avouer, la première impression qu'on 

 éprouve à la lecture de ces réllexions n'est pas 

 favorable à Descartes. Par quelle aberration a- 

 t-il pu comprendre — à ne parler d'alioid que 

 des derniers reproches — que la relation entre 

 les carrés des ordonnées et les abscisses qui ca- 

 ractérise la parabole, et d'oi'i dérive l'inégalité 

 quisertde point de départ à Fermât, pouvait être, 

 dans la pensée du géomètre toulousain, la rela- 

 tion générale à utiliser en tous cas pour des 

 courbes quelconques? Lorsque dans une pre- 

 mière lettre, qui est perdue, mais dont nous de- 

 vinons le contenu par ce qu'en dit Descartes à 

 Mydorge (1er mars 1638), Etienne Pascal et 

 Roberval auront insisté sur cette erreur, les 

 mêmes reproches se retrouveront dans la réponse 

 de notre philosophe avec plus de précision 



