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G. MILHAUD. — i-A QUERELLE DK DESCARTES ET DE FERMAT 



encore. Partageant ses payes en deux colonnes, il 

 reproduit d'un côté la démonstration de Fermât 

 pour la tangente à la parabole, et de l'autre les 

 mêmes mots, le même langage, la même écriture 

 algéluique pour l'ellipse ou l'hyperbole, de ma- 

 nière à aboutir évidemment à une absurdité, 

 — ce qui ne pouvait étonner personne, comme le 

 lui redira bientôt Roberval. — Et quant à la 

 première partie de la critique de Descartes, com' 

 ment celui-ci n'a-t-il pas vu que Fermât définit 

 la tangente en B non point par le fait que EB 

 serait une longueur maxima ou mininia, mais 

 par cet autre que sur EB le point B est celui pour 

 lequel une certaine quantité algébrique passerait 

 par un minimum? C'est encore ce que diront 

 pour la seconde fois et de toutes leurs forces, 

 après la réponse de Descartes adressée à My- 

 dorge, les défenseurs de Fermât, ou tout au 

 moins l'un deux, Roberval, reprenant en somme 

 les mêmes arguments présentés une première 

 fois par Et. Pascal et par lui (avril 1638). Ceux-ci 

 ont tort, il est vrai, comme le dira Desargues au 

 P. Mersenne', de déclarer absurde a prio)-i qu'on 

 parle de droites maxima ou minima parmi celles 

 qui vont du point E à la parabole; mais comme 

 ils ont raison de ne pas accepter que la tangente 

 en B à la parabole puisse se déterminer par la 

 recherche d'une cordede longueur maximum ou 

 minimum EB,commeDescartes en donne l'exem- 

 ple en un raisonnement, dont en même temps il 

 veut montrer l'inanité ! 



En même temps, il est curieux de remarquer 

 que ni eux, ni Desargues dans ses réflexions sur 

 ce débat, ni Descartes lui-même, n'ont l'air de 

 voir la vraie raison pour laquelle l'application 

 que fait Descartes de la méthode de Fermât 

 aboutit à une absurdité. Invoquer simplement, 

 comme Roberval, le fait que les cordes nouées 

 de E à la parabole croissent indéfiniment, pour 

 rejeter le maximum ou le minimum EB, ce n'est 

 guère plus exact que l'hypothèse, admise sans 

 discussion par Descartes, que la tangente EB est 

 nécessairement la plus longue des droites allant 

 de E aux premières rencontres avec la parabole. 

 Et Desargues, quand il jugera qu'à propos des 

 cordes passant par E on peut parler de plusieurs 

 manières de maxima ou de minima, donnera rai- 

 son à Descartes, sans s'apercevoir que celui-ci 

 n'en parle que d'une façon incompréhensiljle 

 pour construire la tangente parla méthode de Fer- 

 mat. Il n'expliqueia pas en tout cas l'étrange ré- 

 sultat obtenu par Descartes appliquant rigoureu- 

 sement la méthode de maximis et minimis, à la re- 

 cherche du maximum ou du min i ni n m EB. Quant 



1. Lettre du 4 avril 1638, publiée par M. Gliarles Henry, 

 dans le tome IV des Œiitres de Fermât, p. 3J, 



Fig. 2. 



BC2 



à Descartes lui-mèine, il voudra bientôt montrer 

 comment il faut corriger le raisonnement qui l'a 

 conduit à une absurdité, mais il ne s'apercevra 

 pas (ju'alors, au lieu de corriger la méthode de 

 Fermât, il ne fera que corriger sa propre erreur. 

 De quoi s'agit-il en effet dans le raisonnement 

 de Descartos? 11 s'agit manifestement de trouver 

 les droites maxima ou 

 minima allant de E 

 à la parabole. Or, qui 

 ne voit que ces droites 

 sont les normales à la 

 parabole menées de E? 

 — SiEB(tig.2)estune 

 de ces normales, on 

 sait bien que la sous- 

 normale CE est égale 

 au paramètre, c'est- 

 à-dire à la valeur constante du rapport ^-j^i de 



sorte que, avec les notations de Fermât et de 



R- 

 Descartes, A est égal à ^- Or, c'est justement, 



au signe près, dépendant de la position du 

 point E par rapport au sommet D, le résultat 

 prétendu absurde du calcul de Descartes. 11 

 faut joindre au point B ainsi déterminé son symé- 

 trique par rapport à l'axe, pour avoir une se- 

 conde solution; et si enfin on remarque que 

 l'existence simultanée des quantités B et D exclut 

 la 3'= solution évidente ED, on constate que l'ap- 

 plication par Descartes de la méthode de Fermât 

 à la construction des normales, comme lignes 

 maxima menées de E, réussit merveilleusement. 

 Descartes se trouvait donc faire la preuve de la 

 valeur de cette méthode, quand il croyait en dé- 

 montrer l'inexactitude. II est étrange qu'Etienne 

 Pascal et Roberval ne s'en soient pas aperçus. 



\"enons-en enfin à la correction de Descartes. 

 C'est à Hardy qu'il montre, dans une lettre de 

 juin 1038 ', comment on doit modifier la méthode 

 de Fermât pour la faire aboutir vraiment à la 

 construction de la tangente. II prend pour exem- 

 ple une parabole cubique, mais son raisonne- 

 ment pourrait aussi bien se faire sur la parabole 

 simple. Le changement essentiel qu'il apporte 

 est alors que l'accroissement E ou CF (fig. 3), 

 donné à l'inconnue A ou EC, est celui qui corres- 

 pond au second point de rencontre de EB avec 

 la parabole. Il prend deux inconnues au lieu 

 d'une, A et E, pose provisoirement une relation 

 arbitraire entre les ordonnées BC et DF, de ma- 

 nière à pouvoir écrire autant d'équations que 

 d'inconnues'-, résout le système, puis fait E = 0. 



1. Ad et T., 2 11, p. l:o. 



2. La l'« <Squ. s'obtient par les triangles semblables EBC, 

 EDK, et par la propriété caractéristique de la parabole. 



