AU SUJET DKS TANGENTES 



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Connue celle fois les points J'^, B,D, sont en ligne 

 droite, en faisant E :^ on passe bien vraiment 

 lie la sécante à la tangente. Mais (•(inmient l)cs- 

 carles ne voit-il pas que le problème est lont 

 autre et (jnc la nouvelle méthode n'est plus celle 

 de KcriiiaLi' La dioite i'^iî n'est plus la plus grande 

 ligne menée de E à la courbe, mais la limite d'une 

 sécante dont deux points de rencontre avec la 

 courbe tendent à se confondre. Descartes a beau 



Fig. 3. 



continuer à soutenir ' que la tangente ainsi obte- 

 nue est la plus grande ligne menée par E à la 

 parabole, cette ailirmalion reste extérieure à son 

 raisonnement, elle est sans influence sur son 

 résultat, ses calculs n'en tiennent pas compte. 

 Il croit avoir corrigé la méthode de Fermât; en 

 réalité, il a cessé de s'appuyer sur un postulat 

 que lui. Descartes, avait faussement énoncé, et il 

 a résolu le problème par une voie, certes absolu- 

 ment correcte, mais tonte différente de celle de 

 Fermât. 



# * 

 Et maintenant demandons-nous si dans quel- 

 que mesure au moins peut s'expliquer une sem- 

 blable attitude ? Faut-il parler de mauvaise foi? 



1. En réalité Descai'tes ne cessera jamais lio le soutenir. 

 A une lettre de Fei-mat que nous n'avons pas, mais où sans 

 doute l'>rinat montrait ([ue sa méthode réussissait très biet» 

 à déterminer les normales menées d'un point à une comiIk', 

 Descartes répondra (27 juillet 1H38, 11, p. 280) qu'il compi-end 

 enfin — mais il ajoute cette restriction : « Il est vrai que je ne 

 vois pas encore pour quelle raison vous voulez que votre 

 première régie, pour cUercLer les plus grandes et les moin- 

 dres, se puisse appliquer à l'invention de la tangente, en 

 considérant la ligne qui coupe à angles droits comme la 

 plus courte, plutét qu'en considérant celte tangente comme 

 lu plus grande, sousles conditions qUi la rendent telle. »Dans 

 sa lettre à Mersenne du î!3 aoilt de la même année, Des- 

 caries y reviendra avec plus d'insistance encore. Les coudi- 

 lions qui à ses yeux font de la tangente la plus grande ligne 

 sont manifestement celles qu'il a indiquées, quand il a « cor- 

 rigé » la hiélliode de Fermai. Ce sont donc celles (jui font 

 delà tangente la position limite de la sécante. Cette idée de 

 pf)sitiori limite, de position extrême, au delà de laquelle la 

 droite issue de E ne rencontrerait plus la parabole implique 

 évidemment le passage de certaines grandeurs par un 

 maximum ou par un minimum, par exemple l'angle de EH 

 avec l'axe delà parabole est un maximum... Et c'est peut- 

 êti'e ce sentiment plus ou moins confus qui fera dire à 

 Descartes avec un certain enléteinent que la tangente Elî est 

 elle-même un maximum, — quand en réalité la longueur EB, 

 H décrivant la parabole, ne fait pas partie des grandeurs 

 qui passent par un maximum pour la position de contact 

 de la sécante. 



— Assurément non. Le ton de ses lettres à Mer- 

 senne, à Mydorge, à Hardy, écrites à l'occasion 

 de ce débat exclut vraiment une pareille hypo- 

 thèse. Va Descaites tient trop aussi à sa réputa- 

 tion pour avoir répété à outrance des apprécia- 

 tions ([ui auraient risqué tôt ou tard de le faire 

 baisserdans l'estime des mathématiciens. Sa sin- 

 cérité est hors de doute. 



Du moins, nous pouvons soupçonner qu'une 

 sorte de bandeau posé sur ses yeux l'a empêché 

 de voir clair quand l'envoi de l'écrit de Fermai, 

 accompagné des réflexions du P. Mersenne, l'a 

 fait croii'e à une provocation. Songez donc : 

 api'cs les objections sans valeur soulevées contre 

 sa Diopirique, n'était-ce pas de l'audace de la 

 part du géomètre toulousain, de s'atlaqucr main- 

 tenant à sa Géométrie, à l'œuvre dont Descartes 

 était si fier, et, dans cette U'uvre, à la partie qui 

 llattait le plus peut-être son amour-propre — à 

 la construction des tangentes ? « Je croiray avoir 

 mis icy ', dit-il dans la Géométrie, tout ce qui est 

 requis pour les éléments des lignes courbes, 

 lorsque j'auray généralement donné la [.^'ou de 

 tirer des lignes droites qui tombent à angles 

 droits sur tels de leurs points qu'on voudra choi- 

 sir^. Et j'ose dire que c'est cecy le problème le 

 plus utile et le plus général, non seulement que 

 je svache, mais mesme que j'aye jamais désiré de 

 sçavoir en géométrie. » Et c'était après avoir lu 

 la solution complète donnée par Descartes à ce 

 problème capital, que Fermât voulait lui faire 

 sentir la maladroite complication de ses calculs, 

 en lui mettant brusquement sous les yeux une 

 méthode infiniment plus simple et plus ra- 

 pide... Car Mersenne l'avait bien dit à Descar- 

 ies : c'était après avoir lu la Géométrie que Fer- 

 mat avait envoyé son écrit « s'étonnant de ce que 

 Descartes n'avait pas trouvé la même chose-' y. 

 Et, interprétant ces informations. Descartes avait 

 vu aussitôt chez le conseiller toulousain le des- 

 sein « d'entrer en concurrence et de montrer qu'il 

 savait en cela plus que lui ». S'il a consenti à 

 répondre, c'est « qu'il faut bien qu'on voie ses 

 défenses», mais, il l'a dit nettement à Mersenne : 

 Si à l'avenir Feiinat le charge d'envoyer à Descar- 

 ies d'autres écrits, qu'il prenne la peine d'abord 

 de les mieux digérer sans quoi le Uevercnd Pèie 

 est prié « de ne prendre point la commission de 

 les lui adresser. — Car entre nous, ajoute-t-il, 

 passant du nouvel écrit de Fermât aux objec- 

 tions contre la Dioptrique, si lorsqu'il me vou- 

 dra l'aire l'honneur de me proposer des objections 

 il ne veut pas se donner plus de peine qu'il a 

 pris la première fois, j'aurais honte qu'il me 

 fallût prendre la peine de répondre à si peu 

 de chose' ». Ainsi, aux yeux de Descaries, l'écrit 

 De iiHi.iiinis et miniinis est comme une nouvelle 

 accusation, contre laquelle il consent encore, 



1. A d et T., t. VI. p 41:î. 



2. Les tangentes s'en déduisent naturellement aussitôt. 



3. Ad. et T., t. I, p. 48fi. 



