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G. MILHAUD. — LA QUERELLE DE DESCARTES ET DE FERMAT 



et pour la dernière fois, :i se dol'endre. C'est un 

 second et injurieux défi, venant à la suite du 

 premier. On avouera sans peine que cet état 

 d'âme de notre philosophe ne le préparait guère 

 à une saine appréciation de l'œuvre de Fermât. 



En second lieu, si le fond même de l'écrit de 

 Fermât semble impeccable, il faut reconnaître 

 que la rédaction laisse quelque peu à désirer : 

 elle manque parfois de clarté par excès de con- 

 cision. Par exemple, on ne dit pas d'où sort liné- 

 galité qui sert de point de départ au raisonnement 

 dans le problème delà tangente à la parabole, et 

 Desc^irtes ne péchera pas contre la lettre même 

 de l'écrit, en admettant que le raisonnement est 

 proposé comme général pour toutes les courbes. 

 On ne dit même pas, dans la principale applica- 

 tion d'une méthode De ma.viniis et mï/iimis où 

 est le maximum ou le minimum c|ue l'on consi- 

 dère, et Descartes aura là une excuse quand il 

 cherchera ce maximum ou ce minimum dans la 

 longueur de la dioite EB... il eût certes sulli, à 

 défaut de sang-froid, pour éviter de telles erreuis 

 d'interprétation, que Descartes se fit une idée 

 exacte de la valeur du géomètre toulousain, mais 

 il en était justement encore assez éloigné... 



Mais nous pouvons aller plus loin, et chercher 

 si enfin il n'y a pas quelques caractères des solu- 

 tions de Fermât qui pouvaient par eux-mêmes 

 déplaire au géomètre ([u'était Descartes. La lettre 

 de Desargues à iMersenne du 4 avril 16.58 [(Kiivres 

 de Fermât, tome IV public par JM. Ch. Mcnry, 

 p. .'il)) va peut-être nous y aider. Cette lettre était 

 une réponse à l'invite de Mersenne de donner 

 son sentiment sur le débat qu'avait provoqué 

 l'envoi de l'écrit de Fermât à Descartes. 11 n'a lu 

 que les lettres de ce dernier, mais il a causé avec 

 Pascal et Roberval d'une part, avec Mydorge de 

 l'autre, Mydorge plutôt partisan de Descartes. Il 

 connaît par eux les arguments des amis de Fer- 

 mât, si bien que, quoiqu'il n'ait pas lu l'écrit 

 même de b'ermat, il en sait assez pour formuler 

 un jugement qui a son intérêt, quoique on sente 

 bien en le lisant que sa bonne âme ne veut faire 

 de peine à personne. 



Sur la relation spéciale mise en évidence par 

 Fermât dans la construction de la tangente à la 

 parabole — relation que Descartes déclare trop 

 évidemment ne plus pouvoirservir pour l'ellipse 

 et l'hyperbole, — Desargues écrit ^ : « M'ont 

 assuré lesdits sieurs Pascal et Roberval, que vous 

 sçavez estre gens d'honneur et sanspassion jiour 

 personne du monde en cette matière, qu'ils ont 

 employé de cette façon la méthode des plus peti- 

 tes et plus grandes au faict des touchantes à 

 l'hyperbole et à l'élipse en raisonnant sur cha- 

 cune suivant les propriétés qui leur < en > sont 

 particulières et quelle leur a également bien 

 réussi aussi bien en cela comme en la parabole 

 en raisonnant par des propriétéz particulières 



AJ. et T., p. 484. 



1. Œuvres de Fermât, ÏV, p. 42. 



de la parabole de façon que ce que dit M. Descar- 

 tes (qu'en substituant hyperbole ou élipse au 

 lieu du mot de parabole cette méthode alors se 

 trouve fausse) est tout véritable ; car si la 

 méthode estgénérale, les mêmes mots exprimants 

 une mesme propriété doivent convenir et servir 

 à chacune espèce de coupe. Or les mesmes motz 

 de ce raisonnement signifient une chose vérita- 

 ble aussi bien aux hyperboles et élipses qu'en la 

 parabole, mais le raisonnement ne sera pas alors 

 fondé sur une propriété particulière à la nature 

 de l'hyperbcde ou de l'élipse comme le raisonne- 

 ment de cet exemple est fondé sur une propriété 

 particulière à la nature de la paiaboJe ; et j'es- 

 time que c'est là une partie du malentendu où 

 l'erreur est au choix de la propriété pour raison- 

 ner dessus. Par ainsi M. Descartes a raison et 

 M. de Fermât n'a pas tort. » Si l'on sent l'elfort 

 de Desargues pour ne froisser aucun des adver- 

 saires, on voit mal à travers ces lignes pour- 

 quoi « Descartes a raison ». En se relisant, l'au- 

 teur de la lettre a constaté lui-niême sans doute 

 qu'il n'était pas clair, car il éprouve le besoin 

 d'écrire en marge la note que voici' : « En reli- 

 sant le tout j'ai voulu mettre hardiment cecy, 

 à quoi je puis faire voir à MM. Pascal et Roberval 

 qui y ont acquiescé, c'est que sans attendre plus 

 de temps mon sens est que encore que M. de 

 Fermât ait quelque raison, si tant que sa mé- 

 thode soit bonne pour chaque cou|)e de cône en 

 y raisonnant d'une propriété qui soit particu- 

 lière à la nature de l'exemple qu'on donne, si 

 est-ce que je suis du sentiment de M. Descar- 

 tes qu'elle n'est pas générale et asseurée, jusqu'à 

 ce qu'elle soit ajustée de façon que le raisonne- 

 ment étant pris d'une propriété communément 

 naturelle ou essentielle à la nature de chacune 

 des espèces de coupe le sens des mêmes paroles 

 employées en ce raisonnement pour une seule 

 espèce découpe convienne et serve généralement 

 à chacune ties au très espèces de coupe. (Autre- 

 ment quant à moy), je ne la nommeray pas une 

 méthode générale ny ne la recevray pas pour 

 viaye jusques alors. » Ceci est plus clair : aux 

 yeux de Desargues, le grave reproche que mérite 

 ici Fermât est de donner pour la tangente à la 

 parabole une méthode qui soit spéciale à cette 

 courbe — au lieu de pouvoir s'appliquer à toutes 

 les sections du cAne. Nous en sommes peu sur- 

 pris. De Desargues date en eiïet cette géométrie 

 qui veut toujours piocéder avec la plus grande 

 généralité, considérant par exemple une coni- 

 que comme coupée en tous cas par une droite 

 en deux points, réels ou non, distincts ou con- 

 fondus, à dislance finie ou à l'infini — et les 

 coniques elles-mêmes comme répondant à \\\\q 

 même définition, comme douées des mêmes 

 propriétés projectives générales. Estil permis 

 d'attribuer à Descartes le même sentiment, et 

 d'expliquer pai les mêmes raisons son mécon- 



1. Œuvres de FiTmiit, IV, p. 43. 



