AU SU.IKT DKS TANGKNTES 



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lentcmeiil ? Non sans doiilo autant ([iie s('tiil>le le 

 pcnseï' Desai'giics, mais oui jxiiiilaiit dans une 

 ccilaine mesure. C'est en efl'et un des caia(-tct'es 

 propi'es au génie de Descarlesdepoursuivre par- 

 tout la plus irrande généralité, au point de vou- 

 loir dans tous les domaines atteiiidic à une 

 science achevée. Dans sa Géométrie tout parlicu- 

 lièromont, ses méthodes veulent être le plus 

 universelles possible, et la représentation des 

 coniques par l'équation générale du second 

 degré en .cet // correspond bien au fond aux ten- 

 dances de Desargues. Certainement donc son 

 tempéi'ament de géomètre pouvait être choqué 

 par une méthode, si brève qu'elle fût, obligée de 

 s'adapter à chaque variété de conique. Même s'il 

 l'eût jugée exacte, il y aurait vu tout au plus un 

 détail, une curiosité. «M. Fermât est un gas- 

 con, moi n(»n, diia-t-il plus tard à Schooten, 

 dans une conversation familière. Il est vrai qu'il 

 a inventé plusieurs belles choses particulières et 

 qu'il est homme de grand esprit; mais ([uant à 

 moi, j'ai toujours étudié à considérer les choses 

 fort généralement, alin d'en pouvoir conclure des 

 règles qui aient aussi ailleurs de l'usage ' . » On 

 objectera que si Descartts avait eu à reprochera 

 Fermât la nature trop particulière de sa solution, 

 il eût pu le dire plus nettement... Sans doute, 

 mais il n'en reste pas moins que nous touchons 

 ici, avec Desargues, à lun des caractères qui 

 maïquent le plus vivement la distance des mé- 

 thodes de Fei mat et de Descartes pour les tan- 

 gentes, et en même temps, p^r conséquent, à 

 l'une des raisons plus ou moins conscientes de 

 l'attitude de ce dernier. 



Sur l'autre point controversé, à savoir la ques- 

 tion des longueurs mixima ou minima menées du 

 point E à la parabole, et leur emploi dans le pro- 

 Llrmo des langeâtes, Desaigues semble penchei 

 plus manifestement encore du côté de Descartes. 

 « Je luy dis encore cecy [à Mydorge] qui fait au 

 faict de question assavoir que je trouve que toute 

 ligne droite estant menée à l'infini au plan d'une 

 coupe de cône si elle rencontre comme que soit 

 cette coupe de cône, elle a deux concours avec 

 ses bords autant l,i touchante simplement que la 

 diamétrale infinie de la parabole, et qu'en cette 

 construction il y a trois espèces de plus grand 

 et de plus petit, assavoir le plus grand et le plus 

 petit de chacune de ces deux espèces de concours 

 depuis ce point de la droite avec les bords de la 

 coupe de cône... La troisième espèce de plus 

 grand et de plus petit que je trouve à chercher 

 en pareille construction est la droite menée par 

 un tel point de laquelle la pièce contenue dans 

 la figure et entre ses deux concours avec ses 

 bords est la plus grande et la plus petite, (^uand 

 on y aura bien pensé, on trouvera qu'il en va 

 ainsi quoy que veuille dire Mrs Mydorge, etc., et 

 que la méthode générale pour trouver le plus 



1. Extrait d'une lettre de Schooten à Hnyj;ens [Œui'ies 

 com/ilèUs de Huygens, II, 221-222; Ad. et '1., III, 3:î3). 



grand et le plus petit doit contenir les moyens 

 de trou ver chacun!^ de ces trois espèces et sous un 

 mesme discours ou à peu pi'ès'. » 



Ces lignes répondent assez justement à l'en- 

 têtement de Koberval qui prétend ôter toute 

 signification à l'idée même des droites maxima et 

 minima menées d'un point à la parabole. Mais 

 Desaigues ne souille pas mot de l'usage qu'en 

 fait Descartes dans sa critique de la méthode de 

 P^ermat. Il n'oserait certainement pas déclarer 

 que la tangente doit être cherchée comme « un 

 plus grand n ou « un plus petit» des deux pre- 

 mières espèces. Seule la recherche du cas où 

 « la pièce » comprise entre les deux concours est 

 minimum, c'est-à-dire ici nulle, peut aboutir 

 naturellement à la tangente. Et au fond c'est 

 bien cette recherchequ'elïectuera Descartes dans 

 la prétendue correction du procédé de Fermât. 

 Ce sera, certes, si peu conscient qu'il conti- 

 nuera à soutenir que la tangente est la lon- 

 gueur maxima EB. Mais, consciemment ou non, 

 le procédé de Descartes reviendra en fait à 

 définir la tangente la droite qui coupe la courbe 

 en deux points confondus, comme il l'a fait 

 en somme dans sa Géométrie, et comme il l'a 

 sans doute toujours fait, puisqu'il déclare avoir 

 donné il y a de longues années le procédé par 

 lequel il croit pouvoir rendre la rigueur à celui 

 de Fermât. Et ici malgré tout, par conséquent, 

 nous touchons encore à une divergence de vues, 

 fondamentales entre Descartes et Fermât, tout 

 à l'avantage d'ailleurs de Descartes, et qui peut 

 avoir contribué au mécontentement de celui-ci. 

 Fermât, en construisant comme il le fait la tan- 

 gente à la parabole, la définit comme la droite 

 qui n'a qu'un point commun avec la courbe. 

 C'était là la vieille définition qui faisait en 

 somme de la tangente une droite spéciale de 

 nature toute particulière. Comme Desargues, 

 Descartes avec son esprit généralisateur a voulu 

 voir dans la tangente une sécante dont deux 

 points de rencontre sont venus se confondre, 

 tout comme une éi(uation de degré m a m ra- 

 cines, même quand plusieurs deviennent éga- 

 les. Cette tendance de notre philosophe n'est 

 autre au fond que celle déjà notée. Les remar- 

 ques de Desargues, qui s'inspirent précisément 

 de cette même tendance dans ses objections 

 à Fermât, nous ont aidé à en deviner rinlliicnce 

 possible sur les appréciations de Descarfes. 

 Il ne faut rien exagérer sans doute, et nous 

 ne pensons pas qu'on puisse, pour expliquer 

 celles-ci, se passer de certains éléments alTectifs 

 liés au caractère de Descaries, mais on n'est tout 

 de même pas fâché de trouver aussi, parmi les 

 raisons de son étrange attitude, des besoins 

 intellectuels, plus ou moins conscients en la cir- 

 constance, (|ui ne pouvaient que faire honneur à 

 son tempérament de géomètre. 



G. Milbaud, 



Professeur à la Sorljonne. 

 1. (JiiniTi-s de Fermât, ]\\ p. 45-46. 



