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G. MILHAUD. — DESCARTES ET L'ANALYSE INFINITESIMALE 



DESGARTES ET L'ANALYSE INFINITESIMALE 



La Géométrie, l'œuvre essentielle de Descartes 

 en Mathématiques, est, nous l'avons vu, uii 

 achèvement, — magistral sans doute, — une 

 sorte d'aboutissement de travaux remontant aux 

 Grecs, plutôt qu'une création absolue. Faut-il 

 penser, comme cela a été dit parfois, que Des- 

 cartes eût été incapable, par son attachement 

 aux idées claires, de dépasser les limites de 

 cette œuvre, et de participer efficacement à l'éla- 

 boration des méthodes infinitésimales qui, de 

 son temps déjà, commençaient à transformer 

 vraiment l'esprit même de l'Analyse mathéma- 

 tique? Ce qui est vrai dans cette manière de 

 voir, c'est qu'aux yeux de notre philosophe rien 

 d'important ne peut être trouvé désormais, qui 

 ne se rattache plus ou moins directement au 

 contenu de la Géométrie. Mais d'instinct il était 

 accessible à toutes les méthodes et à tous les 

 ordres d'idées qui peuvent s'offrir en Mathéma- 

 tique. Son attitude dans la querelle avec Fermât 

 ne doit pas nous faire illusion à cet égard : elle 

 n'est qu'un incident révélant ou confirmant un 

 aspect de son caractère, mais ne prouvant en 

 aucune manière l'existence de quelque limite 

 restrictive à la 'nature de son génie inventif. 

 C'est ce qui saute aux yeux quand on parcourt 

 sa correspondance. Aux questions les plus di- 

 verses, aux difficultés proposées dans les ordres 

 d'idées les plus éloignés les uns des autres, dès 

 que son amour-propre est touché, il apporte une 

 solution avec une étonnante rapidité. Et les pro- 

 cédés dont' il use, au moins quand il les fait 

 connaître, ne témoignent en aucune manière 

 d'un attachement étroit et exclusif à l'esprit 

 d'une méthode unique et déterminée dont sa 

 Géométrie, à l'entendre lui-même, aurait fixé les 

 linéaments. Il est impossible de citer tous les 

 exemplesque sa correspondance fournit de cette 

 richesse d'invention. Je voudraisseulenientm'ar- 

 rèter à ceux où Descartes, avec une aisance natu- 

 relle, manie les considérations infinitésimales. 





Nous l'avons vu déjà, dans ses premiers essais 

 scientifiques de l'hiver 1619', donner deux fois 

 la preuve qu'il n'y répugne pas. C'était d'abord 

 dans la démonstration qu'il avait donnée à 

 lieeckmann pour établir sur les postulats du sa- 

 vant hollandais la loi de la chute des corps : il 

 était allé d'emblée à un emploi rationnel des in- 

 divisibles. Puis, dans le mémoire sur la pesanteur 



1. lie», gcn. des Sciences, 15-30 sept. 1916. 



des liquides dans des vases, il s'était appliqué, 

 pour définir la pesanteur, à considérer la force 

 entraînant un corps dans « le premier instant de 

 son mouvement » ; il parlait volontiers de cette 

 vitesse initiale, c'est-à-dire de la vitesse à ce 

 premier commencement imaginable... Un peu 

 plus tard, mais assurément de bonne heure, 

 nous l'avons vu rompre avec la vieille défini- 

 tion classique de la tangente à une courbe, et 

 s'en former une conception où il devait tou- 

 jours et systématiquement se tenir, je veux 

 dire la considérer comme la position liiiiile 

 d'une sécante quand deux points voisins tendent 

 à se confondre*. 



Ces premières remarques suffiraient peut-être 

 pour montrer que les obscurités naissant de l'in- 

 Animent petit et du continu n'étaient guère pour 

 l'arrêter. Mais il y a mieux, et sa correspondance 

 nous fournit au moins trois occasions impor- 

 tantes où nous pouvons le voir directement aux 

 prises avec les problèmes fondamentaux de Géo- 

 métrie infinitésimale. 



Le premier est celui de quelques quadratures 

 remarquables. — Le 28 avril 1632, le P. Mersenne 

 avait transmis à Descartes de la part de Fermât 

 une série de problèmes à résoudre sur la recherche 

 de certains centres de gravité-. Fermât disait 

 en avoir trouvé facilement la solution à l'aide de 

 sa méthode, et il ne serait pas fâché, écrivait-il 

 au Minime, de voir si M. Descartes les pourrait 

 trouvera son tour. Celui-ci, sensible à celte pro- 

 vocation, donne à Mersenne, dès le 27 juillet, 

 des réponses précises aux questions de F'ermat 

 généralisées. A l'exemple de P. Tannery [t. II, 

 p. 2.'>2], nous pouvons donner ces résultats en 

 notre langage, qui résumera brièvement les 

 indications de Descartes : 



Soit i/™ = p.T une parabole de degré m. 



1" Le rapport de la sous-tangente à l'abscisse 

 est m; 



2" Le rapport de l'aire '^j^ydx au triangle ins- 



■ Im 



cril .vu est ; — r ; 



^ /« -|- 1 



.'5° Lerapport dessegmentsenlesquelsl'abscisse 



est divisée par le centre de gravité de cette aire 



w + 1 

 est ; 



1. nef. gén. di-s Se, 15 juin 1917. 



2. Ad. et T., II, tiy-120, et 122, note de Tannery. 



