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G. MILHAUD. — DESCAiriES ET L ANALYSE INFIN'ITESIMALE 



on descrit le demi-cercle «8,'5 égal à la moitié de 

 la roulette et la figure yyziiw, dont la partie œyzOô 

 soit égale et semblable à FtU'ilE, et l'autre par- 

 tie EÙzAw soit égale et semblable à Ei.AKF (car AE 

 étant égale à EC, et l'angle AEF à l'angle DEC. 

 il est évident tiue ces deux j)arlies de figures peu- 

 vent ainsy estre jointes), la base ^/w sera égale à 

 «p, et la hauteur de cette figure »/« égale à celK- 



du demi-cercle «53. Et, outre cela, tous les seg- 

 ments des mesmes lignes droites parallèles à la 

 base a^sw, <iui seront compris lun dans la ligure 

 y/w, l'autre dansle demi-cercle, seront égaux l'un 

 à l'autre, comme ,"} sera égal à y.v; 4-5 à 2-3: 8-9 

 à(i-7: et ainsy des autres. Ce qui prouve assez que 

 l'espace c-zoï est égal au demi-cercle «oî, pour ceux 

 qui scavent que généralement, lorsque deux 

 ligures ont mesmebaze etmesme hauteur, et que 

 toutes les lignes droites parallèles à leurs bazes, 

 qui s'inscrivent en l'une, sont égales à celles qui 

 s'inscrivent dans l'autre à jjareilles distances, 

 elles contiennent autant d'espace l'une que l'au- 

 tre. Mais pour ce que c'est un théorème qui ne 

 serait peut-être pas avoué de loiis, je jxiursuis en 

 celte sorte » '11, p. '200 et 2()1). 



Ici Descartes justifie son airirinalion en ins- 

 crivant dans les deux ligures une suite infinie de 

 trianules respectivement égaux chacun à chacun, 

 lescpiels triangles, (piand leur nombre augmente 

 indéfiniment, épuisent les aires des deux figures. 

 .( Au reste, conclut Descartes, l'espace compris 

 entre la droite AC et la courbe AKFGC étant 

 égal au demi-cercle, il est évident que tout l'es- 

 pace AFCH est triple du demi-cercle; car le 

 triangle rectiligne .\B(] est égal à tout le cercle, 

 puisque la ligne AB est supposée égale à la moi- 

 tié de la circonférence, et BC à son diamètre. >- 

 .Après une dernière remarque pour étendre cette 

 I unclusion au cas où le point décrivant la courbe 

 serait au dehors ou au dedans de la roulette, 

 Descartes termine ce qu'il a dit sur ce problème 

 parles mots suivants:» Et ce que jay mis ici fort 

 au long, afin de poinoir être entendu par ceux 

 qui ne se seivcnl point de l'auîilyse, peut être 

 ti'ouvé en trois coups de plume par le cah'iil » 

 (11, p. '26:5). 



Cette démonsiration, clal)oi(;e en si i)eu de 

 tenqis, est tout à fait remaïquable. On y voit 

 Descartes manier ce qui devait être l'essentiel de 



la méthode de Cavalicri avec la plus grande 

 aisance. Certes Kepler avait Fait aussi spontané- 

 ment usage des indivisibles, et même nous savons 

 aujourd'hui parle « Traité de la Méthode » d'Ar- 

 chimède que le grand Syracusain n'hésitait i)as 

 à y avoir lecours pour trouver des vérités nou- 

 velles, sinon, il le pensait du moins, pour les 

 démontre)- en toute ligueur. H est j)robable., je 

 oc l'ai dit ailleurs, que la méthode des indi- 

 ' visibles a germé d'instinct dans le cerveau 

 ; ' des premiers géomètres de l'Antiquité, et 

 /'5 qu'elle n'est cachée dans leurs œuvies que 

 par l'intention de dissimuler les considé- 

 i-ations infinitésimales qu'ils ne jugeaient 

 pas assez rigoureuses. La mélhode d'ex- 

 haustion mise en règle par Eudoxe s'in- 

 troduisit couiamment à un moment donné, et 

 c'est la seule en somme (jue nous ti'ouvons dans 

 lès écrits des géomètres grecs, si l'ini excepte ce 

 fragment d'Archimède auquel je viens de faire 

 allusion. Descartes, lui, n'est nullement cho([ué 

 d'une conclusion qui se dégagerait de l.i seule vue 

 des indivisibles; il n'ajoute une tlénionstralion 

 élémentaireque pourceuxqui ne comprentlraient 

 pas; en elle-même, elle lui suffiiait. tant il est 

 loin d'être réfractaire aux conceptions iiilinili'- 

 simales. 



Les derniers mots posent pour nous une 

 énigme. Quel est ce calcul si exlraoïdinaireinent 

 simple p;irlequel il aurait pu suppléera s.i longue 

 démonstration géométrique^'... Ce (|ue ces mots 

 laissent supposer ne peut en tous cas (|u'aj(inlei' 

 à l'impression que nous cheichons à dégager ici 

 de l'ingéniosité et de la richesse déconcertante 

 des procédés mathématiques de Descartes. 



C 



Soit, dira-t-on peut-être, mais dans Imil ceci 

 les vues infinitésimales ne s'écartent pas de celles 

 qu'on trouve chez Arcliimède et qui se ramcnent 

 toujours à l'intégration d'une série d'éléments 

 infiniment petits en une grandeur d(Uermince. 

 Descaries ne prouve pas i>ar là qu'il ait eu 

 l'idée de ce que nous nommons le Calcul dillé- 

 rentiel. Il a naturellement con(;u la tangente 

 comme limite de la sécante, mais ne s'est-il pas 

 arrêté là? Il a ramené le problème des tangentes 

 à exprimer que deux racines d'une équation à 

 termes finis sont égales, mais a-t-ii su entrevoir 

 la possibilité d'équations dillérentielles pouvant 

 à leur tour servir à déterminer des courbes, tout 

 comme les équations entre coordonnées ponc- 

 tuelles.' — L'étude que fit Descartes des lignes 

 de de Beaiiue va peut-être suggérer une réponse 

 inattendue à ces questions. 



