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(l'est le 15 ii()vciiil)ie Ki.iS (Jl. p. VJO) ([iic Dcs- 

 carles, ëcrivaiUà Merseniic, fait pour la protnirip 

 l'ois quelques allusions aux lif^ues de M. dr 

 IJeautie, à la iviponse (pi'il a faite à ce iréonii'lrc 

 au sujc^t (le ces lignes, — réponse (|uc nous 

 n'avons pas, — à la prétendue solution de Ridjci- 

 val et de lîeangrand, enfin à la s(dution de de 

 Beaunc lui-niènie pour sa seconde ligne, Alais 

 en réalité il nous faut attendre jusqu'à Ja lettrtî 

 du 20 lévrier Ki.'Ji» (II, j). 510). de Dcscarles a de 

 Beaiine, pour en savoir davantage. 



("e (jue nous apprenons avant tout de fort iin- 

 portaut par cette deruièi'e lettre, c'est que les 

 lignes de de Beaune sont définies par une pro- 

 priété caractéristique de leurs tangentes. Des- 

 cartes complimente de Beaune pour la «piadrature 

 qu'il a trouvé le moyen d'elTecluer sur l'une 

 d'elles. « Pour vos lignes courbes, lui dit-il, la 

 propriété dont vous m'envoyez la démonstration 

 me parait si belle <|ue je la préfère à la quadra- 

 ture de la parabole trouvée par .\rehiniède. Car 

 il examinait une ligne donnée, au lieu que vous 

 déterminez l'espace contenu dans une qui n'est 

 pas encore donnée » (p. 513). C'est là le premier 

 exemple historique de lignes courbes qui ne 

 soient pas définies par une propriété caractéris- 

 tique de leurs points, ou, comme dit Oescarles, 

 qui ne soient pas encore données, et sur lesquelles 

 cependant on résout tel ou tel problème en s'àp- 

 piiyant sur une propriété des tangentes menées 

 à ces courbes supposées déterminées. En somme 

 il s'agit de lignes définies par une é([uation diffé- 

 rentielle. Deseartes déclare cjue sa méthode des 

 tangentes ipasplusd'ailleursque celle deFermat, 

 ajoute-t-il) ne seiait pas commode en pareil cas. 

 Mais son esprit s'applique pourtant sans hésiter 

 à ces recherches d'un nouveau genre. En étudiant 

 la deuxième ligne, il a trouvé, dit-il, par des 

 déductions n posteiiori, une série tie théorèmes 

 qu'il ne nous fait pas connaître ; ])uis il indique 

 une méthode plus générale et a priori, « à sçavoir 

 par l'intersection de deux tangentes Inquelle se 

 doit faire entre les deux points où elles touchent 

 la courbe, tout proches qu'on les puisse imaginer, 

 car en considérant quelle doit être cette courbe, 

 afin que cette intersection se fasse toujours en- 

 tre ces deux points, et non au deçà ni au delà, 

 on en peut trouver la construction; mais il y a 

 tant de divers chemins à tenir, et je les ay si peu 

 pratiquez que je n'en sçaurais encore faire un 

 bon coin|)te. Toutefois, vous verrez icy en quelle 

 fa(,on je m'en suis servy^pour vos trois lignes 

 courbes » |ll, p, 514]. Et Descartes donne aussi- 

 tôt une idée de ses recherches sur la deuxième 



1. (^f.. dans mes ,\outu-llf!t Etudes sur t' fJistoire de la pensée 

 sctt fiti/i^ue, le Iruité (te la niélliode d .Archiinrde. 



ligue de de lieaune. .\îais il .luge inutile d'i'ii 

 rafipelcr l'tinoncé, (.'t celui-ci resterait pour nous 

 une énigme peut-être dillicilc à résoudre à travers 

 l(;s raisonnements et les calcids, si nous n'avions 

 la chance de trouver une information suiiisautc 

 dans la lettre de juin 1045, où Deseartes, s'adrcs- 

 saiit à nous ne savons quel coiTCspondaiil. s'ex- 

 prime ainsi [IV, p. 122i)| : (I l'.t touchant les lignes 

 courbes, ou pourrait pro|>oser celle-ci : « Data 

 (pialibet linea )eetaiN',etductis aliis duabuslineis 

 indefinilis, ut CD et l'^E, quae se in puiiclo A 

 ila iulerseeent, ut angnlus EAD sil 45 graduum: 

 (pi.ieritur modusdescriben(lilin<Mm curvani .\H( ), 



Vig, 3. 



quae sit lalis nalurac, ut a quocum(|ue ejus 

 puncto ducantui' tangens et ordinata ad diame- 

 trum CD, (qucmadmodum hic a puncto B duclac 

 sunt tangens BL et ordinata BC), semper sit 

 eadem ratio istius ordinatac BC ad CL, segmcn- 

 tum diamelii in ter ipsam et tangenteminlercepli, 

 quae est lineae datae N ad Bl, segmentum ordi- 

 nalae a curva ad reet.im FE porreclae. — Cette 

 question mejfut pi'oposée, il y a cinq ou six ans, 

 par M. de Beaune, (|ui la proposa aussi aux plus 

 célèbres Mathématiciens de Paris et de Thou- 

 louze ; mais je ne S(,'ache point qu'aucun d'eux 

 luy en ait donné la solution, ny aussi qu'il leur 

 ait fait voir celle (|ue je lui ay envoyée. » 



Il n'y a pas de doute : c'est bien là l'énoncé du 

 problème qui nous intéresse, et la solution en- 

 voyée par Deseartes est bien celle que nous met 

 sous les yeux la letlre du 20 février lO.'W, sauf 

 que, pour cette solution. Descartes a d'abord 

 simplifié le problème à l'aide d'un changement 

 de coordonnées, comme on va le voir. Tel qu'il 

 est donné sous sa forme générale, l'énoncé se tra- 

 duirait aisément pour nous par l'équation diffé- 

 rent ielle 



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di/ 

 qu'il nous lesterait à intégrer. Dans la let- 

 tre à de Beaune de 1(339, à laquelle nous^rcvc- 

 nons maintenant. Descartes prend pour axe AV 

 fA étant le sommet de la courbe à conslriiiic' ; 



