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G. MILHAUD. 



DESCARTES ET L'ANALYSE LN'FINITÉSIMALE 



mais, « au lieu de considérer l'axe AY avec son 

 ordonnée XY », il considère « l'asymptote BC, 

 vers laquelle ayant mené des ordonnées paral- 

 lèles à l'axe, comme PV, liX, etc., et des tangen- 

 tes comme AC, ZVN, GXM, etc., j'ay trouvé, dit 

 Descartes, que la partie de l'asymptote qui est 

 entre l'ordonnée et la tangente d'un même point. 



Fig. 1. 



con)me P.N, ou KM, etc., est toujours égale à BC, 

 ainsi que vous verrez facilement par le calcul » 

 (II, p. 514). Ce résultat est pour nous des plus 

 simples à établir. La transformation de coordon- 

 nées nécessaire pour passer des axes AY', AC aux 

 axes BY, BC, où AB := b (notation de Descartes), 

 et où BC est inclinée à 45 degrés sur AY , nous 

 donne, au lieu de l'équation différentielle ci- 

 dessus écrite, 



y-7-= la sous-tangente = i\ 2 (au signe près) [a]. 

 ay 



Nous serions certes fort embarrassés pour dire 

 comment Descartes pouvait, avec les procédés 

 dontil disposait, parvenir si aisément à ce résul- 

 tat. Du moins la suite de la solution est exposée 

 tout au long : 



Soient 'V et X deux points de la courbe tels que, 

 AB ayant été divisé en m parties égales, et l'or- 

 donnée PV contenant n de ces parties, l'ordon- 

 née RX en contienne n-i. Descartes montre par 

 des considérations simples que PR est compris 



entre et —i de sorte que «'5 (la distance 



Il II — i 



des deux ordonnées) es telle-même comprise entre 



- et --Comme il en est de même pour toutes 



n n — i 



les ordonnées parallèles à AB, et ne diflérant 



l'une de l'autre, à partir de AB, que d'une partie 



de celle lonf^tueur, on voit ([ue si V\ est les j 



de b, AB étant divisi' en 8 parties, PV en con- 

 tiendra 6, et une autre ordonnée qui en con- 

 tiendra 7 sera entre AB et i'V, de sorte (jne Aa 



-^ , /' '> . '' Ar. . 



sera comprise entre ^ + = et = -f n- — AB étant 



divisé en Ki parties, Xv. sera compris entre 



b b b b b b b b 



TS + T^ + rz+rr; etT-p-l-T-r + TTi-|- 77T' etc. En 

 Ib ' lij ' 14 ' 1,-î 15 ' 14 ' 13 ' 12 



augmentant ainsi à l'infini le nombre des divi- 

 sions de AB, on resserrera Aa entre deux sommes 

 de termes dont le nombre croît indéfiniment, de 

 manière à avoir une valeur aussi approchée 

 qu'on voudra de cette longueur. La connaissance 



de PV (7^') et de A« donnera le point V. On 



peut ainsi constiuire mécaniquement, dit Des- 

 cartes, la ligne proposée. Et le mot mécanique- 

 ment achève de recevoir son sens plein par la 

 remarque qui suit : Descartes observe que cette 

 construction de la courbe revient au fond à la 

 description par le mouvement simultané « de 

 deux lignes droites en telle sorte que l'une 

 étant appliquée sur la ligne AU et l'autre sur AB, 

 elles commencent à se mouvoir également vite 

 Ail vers BR et AB vers RH ; que celle qui se 

 meut de Ail vers BR retient toujours la même 

 vitesse, mais que l'autre qui descend de BA 

 parallèle à RII augmente la sienne » dans cer- 

 taines proportions que précise Descartes. Il 

 ajoute qu'à son avis « ces deux mouvements 

 sont tellement incommensurables qu'ils ne peu- 

 vent être réglés l'un par l'autre, et ainsy que cette 

 ligne est du nombre de celles qu'il a rejetées de 

 sa Géométrie, comme n'étant que mécanique » 

 [II, p. 516]. 



Ces derniers mots de Descartes montrent trop 

 clairement pour que nous ayons à y insister qu'il 

 a bien vu la nature transcendante, dirions-nous 

 aujourd'hui, de la ligne étudiée. — La manière 

 dontil calcule la valeur de l'une des coordon- 

 nées BP, ou, ce qui revient au même, de A«y 



puisque 1 A« = -= ■ étant donnée l'autre PV , en 



la resserrant entre deux suites infinies, est déjà 

 fort remarquable et suffirait à prouver avec 

 quelle facilité, s'il n'eût été distrait par d'autres 

 préoccupations, il eût pris sa part des recher- 

 ches sur les séries infinies, qui devaient si natu- 

 rellement amener l'éclosion du Calcul diffé- 

 rentiel. 



Mais il y a plus, et on ne peut vraiment guère 

 douter ([ue Descartes n'ait vu aussi que la lon- 

 gueur ainsi éalculée par approximation n'était 

 autre qu'une fonction logarithmique de l'ordon- 

 née PV, — comme nous le constatons nous- 

 mêmes facilement surl'équation différentielle fa]. 

 H y avait en effet une quinzaine d'années qu'avait 

 été publié le fameux ouvrage de Neper, 1 inven- 

 teur des logarithmes, sous le titre : Miripci loga- 

 rilhmoriim canonis descriptio. L'ouvrage avait 

 fait grand bruit, et il remontait à une époque où 



